Prędkość i przyśpieszenie

Pochodną materialną aktualnego położenia $\x$ cząstki w chwili czasu $t$ nazywamy prędkością tej cząstki

$$\v = \dot{\x} = \pp{x(\X,t)}{t}|_{\X=const}$$

Pole prędkości jest charakterystyczne dla konfiguracji aktualnej (najczęściej definiujemy je używając zmiennych przestrzennych)

$$\v = \v(\x,t)$$

Podobnie możemy określić przyśpieszenie jako pochodną prędkości względem czasu przy ustalonej cząstce materialnej

$$\a = \dot{\v} = \ddot{\x} = \pp{v(\X,t)}{t}|_{\X=const}.$$

Pochodna materialna

Pochodną materialną pewnego pola tensorowego $\A \in \mathcal{T}_p$ nazywamy pochodną po czasie tej wielkości przy ustalanej cząstce, a więc współrzędnej materialnej $\X$.

$$\cfrac{D\A}{Dt} = \dot{\A} = \cfrac{\partial\A(\X,t)}{\partial t}|_{\X=const},$$

Taką chwilową zmianę wielkości $\A$ zanotowałby obserwator poruszający się wraz z cząstką $\X$ podczas ruchu.

Pochodna materialna w opisie przestrzennym

W opisie przestrzennym wyznaczenie pochodnej materialnej jest bardziej złożone. Obliczając pochodną musimy uwzględniać również niejawną zależność od czasu

$$\cfrac{D\A}{D t} = \pp{\A(\x,t)}{t}|_{\X=const} = \pp{\A(\x,t)}{t}|_{\x=const} + \cfrac{\partial\A(\x,t)}{\partial \x}\pp{\x}{t}$$ $$\cfrac{D(\cdot)}{D t} = \pp{(\cdot)}{ t} + \pp{(\cdot)}{\x} \pp{\x}{t}$$

Pochodną materialną w opisie przestrzennym możemy przepisać jako

$$\cfrac{D\A}{D t} = \pp{\A(\x,t)}{t}|_{\X=const} = \pp{\A(\x,t)}{t}|_{\x=const} + \grad \A(\x, t) \cdot \v(\x, t)$$

Gradient prędkości deformacji

Wyznaczmy pochodną materialną gradientu deformacji

$$\dot{F}_{ij} = \cfrac{\partial }{\partial t}\cfrac{\partial x_i}{\partial X_j} = \cfrac{\partial }{\partial X_j}\cfrac{\partial x_i}{\partial t} = \cfrac{\partial v_i }{\partial X_j} = \cfrac{\partial v_i }{\partial x_k} \cfrac{\partial x_k }{\partial X_j} = L_{ik} F_{kj}$$ $$\dot{\F} = \L\F$$

gdzie $\L = \grad(\v)$ - oznacza przestrzenny gradient prędkości. Stąd możemy również zapisać po przemnożeniu przez odwrotny gradient deformacji że

$$L_{ij} = \dot{F}_{ik}F_{kj}^{-1}, \qquad \L= \dot{\F} \F^{-1}$$

Gradient prędkości deformacji możemy rozbić na część symetryczną i antysymetryczną

$$D_{ij} = \cfrac{1}{2} (L_{ij}+L_{ji}), \quad W_{ij} = \cfrac{1}{2} (L_{ij} - L_{ji})$$

gdzie $D_{ij}$ nazywamy tensorem prędkości deformacji a $W_{ij}$ - to tensor spinu.

Pochodna materialna jakobianu

Jakobian czyli wyznacznik gradientu deformacji będziemy oznaczać jako $J$. Wyznaczmy pochodną materialną Jakobianu.

$$\dot{J} = \dot{\overline{\det\F}} = \dot{\overline{\epsilon_{ijk} F_{1i}F_{2j}F_{3k}}} = \epsilon_{ijk}\left(\dot{F}_{1i}F_{2j}F_{3k} + F_{1i}\dot{F}_{2j}F_{3k}+F_{1i}F_{2j}\dot{F}_{3k} \right) =$$ $$\dot{J} = \epsilon_{ijk}\left(L_{1m}F_{mi}F_{2j}F_{3k} + F_{1i}L_{2m}F_{mj}F_{3k} +F_{1i}F_{2j}L_{3m}F_{mk}\right)$$

Weźmy pierwszy człon powyższego wyrażenia i rozpiszmy go względem wskaźnika $m=1,2,3$

$$\epsilon_{ijk}L_{1m}F_{mi}F_{2j}F_{3k} = \epsilon_{ijk}L_{11}F_{1i}F_{2j}F_{3k}+ \epsilon_{ijk}L_{12}F_{2i}F_{2j}F_{3k}+ \epsilon_{ijk}L_{13}F_{3i}F_{2j}F_{3k}$$

Drugi i trzeci człon odpada z uwagi na mnożenie tensora antysymetrycznego z symetrycznym

$$\epsilon_{ijk}L_{1m}F_{mi}F_{2j}F_{3k} = \epsilon_{ijk}L_{11}F_{1i}F_{2j}F_{3k} = L_{11} \det \F$$ $$\epsilon_{ijk}F_{1i}L_{2m}F_{mj}F_{3k} = \epsilon_{ijk}F_{1i}L_{22}F_{2j}F_{3k} = L_{22} \det \F$$ $$\epsilon_{ijk}F_{1i}F_{2j}L_{3m}F_{mk} = \epsilon_{ijk}F_{1i}F_{2j}L_{33}F_{3k} = L_{22} \det \F$$

Ostatecznie dostajemy

$$\dot{J} = J \, \tr \L = J \,\tr \D = J \, \div \v$$

Pochodna materialna elementu objętości

Zapiszmy równanie na zmianę elementarnej objętości

$$dV_t = J \, dV_0$$

Pochodna materialna elementarnej objętości w konfiguracji aktualnej jest równa

$$\dot{\overline{dV_t}} = \dot{J} \, dV_0 = J \div \v \, dV_0 = \div \v \, dV_t$$

Wyprowadzoną zależność możemy wykorzystać przy obliczaniu pochodnej z całki po aktualnej konfiguracji ciała. Ogólny wzór na pochodną materialną danej wielkości po aktualnym obszarze ma postać