wielkość fizyczna $\A$ opisywana w danym układzie współrzędnych przez 9 liczb rzeczywistych $[A_{ij}]$ o wartościach (i) niezmieniających się w wyniku translacji układu współrzędnych oraz (ii) transformujących się wg wzoru:
Prawo transformacji
• przykłady tensorów: naprężenie, odkształcenie, tensor jednostkowy $\I$ (o składowych $[\delta_{ij}]$),
także operator $\Q$ oraz każdy tensor zapisany w postaci diady $\v \otimes \w$
iloczyn tensorowy dwóch wektorów (diada)
$$\A = \v\otimes\w, \quad A_{ij} = v_iw_j$$w zapisie z wektorami bazowymi:
$$\A =(v_i\e_i) \otimes (w_j\e_j) = v_iw_j\e_i\otimes\e_j$$Nie każdy tensor drugiego rzędu ma postać diady (te, które daje się przestawić w takiej postaci nazywamy tensorami rozkładalnymi lub prostymi". W zapisie macierzowym mielibyśmy wektor kolumnowy pomnożony przez wektor wierszowy.
Tensor drugiego rzędu w postaci diady $\u\otimes\v$ transformuje wektor $\w$ w wektor o kierunku $\u$
$$(\u \otimes \v)\w = \u (\v \cdot \w) = (\v \cdot \w) \u$$
baza przestrzeni we współrzędnych kartezjańskich: tzn. każdy tensor rzędu drugiego można przedstawić jako
$$\A = A_{ij}\e_i\otimes\e_j$$
Każdy tensor 2-go rzędu da się przedstawić jako kombinacja liniowa iloczynów tensorowych jakichś par wektorów, bardzo ważne! jako pojedyncza para nie ale jako kombinacja tak.
Mamy wiec 9 diad zbudowanych na wektorach bazowych
W analogi do rozkładu wektora w bazie moglibyśmy zapisać nie używając iloczynu tensorowego rozkład tensora drugiego rzędu jako
$$\A =A_{11}\P_{11} + A_{12}\P_{12}+ A_{13}\P_{13} + A_{21}\P_{21} + A_{22}\P_{22}+ A_{23}\P_{23} +A_{31}\P_{31} + A_{32}\P_{32}+ A_{33}\P_{33}$$tensor jednostkowy
$$\I = \delta_{ij}\e_i\otimes\e_j$$transpozycja tensora
$$\A^T = A_{ji}\e_i\otimes\e_j, \quad [\A\B]^T = \B^T\A^T$$symetria tensora - jeżeli $\A^T = \A$
antysymetria tensora : jeżeli $\A^T =-\A$
rozkład tensora na część symetryczną i antysymetryczną . Dowolny tensor drugiego rzędu $\A$ możemy rozłożyć na cześć symetryczną $\mathrm{sym}(\A)$ i antysymetryczną $\mathrm{usym}(\A)$
$$\mathrm{sym}(\A) = \cfrac{1}{2}(\A+\A^T), \qquad \mathrm{usym}(\A) = \cfrac{1}{2}(\A-\A^T)$$Po dodaniu tensorów do siebie musimy otrzymać wyjściowy tensor. Jeżeli
$$\A=\A^T \quad \text{i} \quad \B^T =-\B \rightarrow \A\cdot\B=0$$Jeżeli $\B$ dowolny to
$$\A\cdot\B=\A\cdot\mathrm{sym}\B=\A\cdot\frac12(\B+\B^T)$$tensor kulisty - gdzie $\alpha$ jest dowolną liczbą rzeczywistą, $\alpha\I$
dewiator - tensor dla którego $\mathrm{tr}\A = 0$ Ślad tensora jest równy $0$.
;rozkład dowolnego tensora na część kulistą $\A^K$ i dewiatorową i $\A^D$;. Dewiator to tensor drugiego rzędu dla którego pierwszy niezmiennik jest równy $0$.
wyznacznik (niezmiennik) jest skalarem
$$\det\A = \frac{1}{6}\epsilon_{ijk}\epsilon_{lmn}A_{il}A_{jm}A_{kn},\quad \det\A^T = \det\A, \quad \det(\A\B) = (\det\A)(\det\B)$$
W zapisie absolutnym wyznacznik możemy zapisać również tak
$$\det \A = \tr (\A^3)$$
tensor osobliwy - tensor nazywamy osobliwym jeśli jego wyznacznik jest równy zero.
$$\det\A=0$$Wtedy istnieją takie wektory $\v\neq\O$ że $\A\v = \O$.
tensor dodatnio określony - jeżeli dla każdego niezerowego wektora $\v$ zachodzi
$$\forall \v\neq\O: \quad \v\A\v > 0$$
interpretacja fizyczna tensora - przekształcenie
$$V^3 \rightarrow V^3: \quad \w = \A\v$$
w myśl tej interpretacji tensor jednostkowy to taki że $\w = \v$, kulisty to taki że $\w = \alpha\v$, a np. dodatnia określoność tensora oznacza, że obraz przekształcenia $\w = \A\v$ tworzy z $\v$ kąt zawsze mniejszy niż $\pi/2$.
tensor odwrotny do tensora $\A$: jeżeli spełnia warunek $\A^{-1}\A = \I$ oczywiście $(\A^{-1})^{-1} = \A$, zatem $\A\A^{-1} = \I$ (w interpretacji "tensor jako przekształcenie" $\u = \A^{-1}\w = \A^{-1}\A\v = \v$) $(\A\B)^{-1} = \B^{-1}\A^{-1}$ tensor $\A$ musi być nieosobliwy, (układ r-ń z 9 niewiadomymi $A_{ij}B_{jk}=\delta_{ik}$)
Tensor ortogonalny
$$\A^{-1} = \A^T, \quad Q_{ki}Q_{kj} = Q_{ik}Q_{jk} = \delta_{ij}, \quad \Q^T\Q = \Q\Q^T = \I$$gdzie $\det\Q=\pm1$; jeśli $\det\Q=1$, to jest to tensor obrotu $\R$.
Wartości i wektory własne
Spełniają równanie charakterystyczne (w interpretacji tensor=przekształcenie: szukamy wektorów, które przechodzą na swoją wielokrotność)
$$\A\bar{\v} = \lambda\m, \quad(\A-\lambda\I)\m = 0,\quad(A_{ij}-\lambda \delta_{ij}) m_j=0$$równanie ma rozwiązanie tylko wtedy, gdy wyznacznik macierzy $A_{ij}-\lambda \delta_{ij}$ jest zerowy -- a jest tak tylko dla pewnych wartości $\lambda$ spełniających równanie:
$$\lambda^3- I_1\lambda^2 -I_2 \lambda - I_3 = 0,$$ $$I_1(\A) = \tr\A, \quad I_2(\A)=\frac12[\tr\A^2 - (\tr\A)^2], \quad I_3(\A)=\det\A$$ $$I_1(\A) = A_{ii}, \quad I_2(\A)=\frac12(A_{ij}A_{ji}-A^2_{ii}), \quad I_3(\A)= \frac{1}{6}\epsilon_{ijk}\epsilon_{lmn}A_{il}A_{jm}A_{kn}$$ $$\A\A = A_{ik}A_{kj} \quad \tr{\A^2} = A_{ik}A_{ki}$$Rozwiązanie jest niejednoznaczne -- wektory własne określone są z dokładnością do stałej proporcjonalności (kierunki główne tensora) -- zwykle normalizujemy je i wektorem własnym nazywamy jednostkowy wersor kierunku głównego; ponadto niektórym wartościom własnym może odpowiadać więcej niż jeden kierunek główny. Dla tensorów symetrycznych -- są trzy rzeczywiste pierwiastki $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ które mogą być
• wszystkie różne -- wtedy odpowiadające im wektory własne są też różne i ortogonalne
• dwa równe sobie a trzeci różny -- wtedy wektory własne odpowiadające dwóm równym pierwiastkom nie są jednoznacznie określone (każdy wektor ortogonalny do tego trzeciego jest wektorem własnym)
• wszystkie trzy równe -- wtedy każdy wektor w przestrzeni jest wektorem własnym
W układzie współrzędnych pokrywającym się z kierunkami głównymi tensora symetrycznego $\A$ macierz $[A'_{ij}]$ współrzędnych tego tensora jest diagonalna i ma postać
$$\left[\begin{array}{ccc}\lambda_1&0&0\\0&\lambda_2&0\\0&0&\lambda_{3}\end{array}\right]$$Mamy w szczególności:
$$\tr\A = \lambda_1+\lambda_2+\lambda_3, \quad \det\A = \lambda_1\lambda_2\lambda_3$$Rozkład polarny
Polega na zapisaniu tensora w postaci prostego nasunięcia dwóch tensorów.
$$\A = \Q \U = \V \Q$$gdzie $\Q$ jest tensorem ortogonalnym (dla $\det\A>0$ tensorem obrotu), a $\U$ i $\V$ tensorami symetrycznymi i dodatnio określonymi.