Podstawowe pojęcia w opisie jednowymiarowym

przemieszczenie - wektor łączący położenie początkowe punktu materialnego z jego położeniem końcowym. Dla dowolnego ruchu krzywoliniowego wartość tego wektora jest mniejsza bądź równa drodze pokonanej przez ciało. Jeżeli różne punkty mają rożne wektory przesunięcia to mamy do czynienie z deformacją (oprócz ruchu obrotowego).
$$u(X,t) = x(X,t) - X,\qquad \text{[m]}$$

prędkość - zmiana położenia punktu materialnego w czasie. Możemy też zapisać prędkość wykorzystując przemieszczenie bo pochodna względem czasu z $X$ jest równa zero.
$$v(X,t) = \cfrac{\partial x(X,t)}{\partial t} = \cfrac{ \partial u(X,t)}{\partial t}\qquad \text{[m/s]}$$

przyśpieszenie - wielkość fizyczna zdefiniowana jako pochodna prędkości po czasie, czyli przyśpieszenie jest szybkością zmiany prędkości.
$$a(X,t) = \cfrac{\partial v(X,t)}{\partial t}, \qquad \text{[m/s${^2}$]}$$

odkształcenie -miara deformacji ciała poddanego działaniu obciążeń termiczno-mechanicznych. Dla przypadku jednowymiarowego możemy zdefiniować odkształcenie jako:
$$\varepsilon(X,t) = \cfrac{\partial u(X,t)}{\partial X},\qquad \text{[-]}$$

prędkość odkształcenia - gradient prędkości punktu materialnego.
$$\dot{\varepsilon}(X,t) = \cfrac{\partial v(x,t)}{\partial x},\qquad \text{[1/s]}$$

siła - wektorowa wielkość fizyczna będąca miarą oddziaływań fizycznych między ciałami. Pojęcie siły skupionej występujące w fizyce i technice jest pewną idealizacją obciążeń rzeczywistych. Siła skupiona, w ścisłym znaczeniu tego słowa, w realnej rzeczywistości nie istnieje. Jednostką siły jest newton $N$.

naprężenie - gęstość sił wewnętrznych w danym punkcie ciała

$$\sigma(X,t) = \cfrac{P(X,t)}{A}, \qquad \text{[Pa]}$$

gdzie $\sigma$ - naprężenie, $P$ - siła, $A$ - pole przekroju pręta (w płaszczyźnie prostopadłej do działającej siły)

temperatura - jedna z podstawowych wielkości fizycznych (parametrów stanu) w termodynamice. Temperatura jest związana ze średnią energią kinetyczną ruchu i drgań wszystkich cząsteczek tworzących dany układ i jest miarą tej energii. Temperatura jest miarą średniej energii kinetycznej atomów lub cząsteczek w układzie.
$$T(x, t) \qquad \text{[K]}$$

gradient temperatury -temperatura prezentujemy zazwyczaj na konfiguracji aktualnej. Jej gradient jest liczony na tej konfiguracji.
$$\cfrac{\partial T(x, t)}{\partial x} \qquad \text{[K/m]}$$

ciepło - ilość energii wewnętrznej przekazywanej w procesie cieplnym
$$Q(x, t) \qquad \text{[J]}$$

strumień ciepła – prędkość przepływu ciepła. Może być wyrażony przez stosunek elementarnej ilości ciepła $dQ$ do czasu trwania wymiany tej ilości ciepła $dt$ (czasu trwania przepływu elementarnej ilości ciepła), czyli jest to pochodna po czasie ilości ciepła przepływającego przez przekrój poprzeczny przegrody.
$$\dot{Q}(x, t) = \cfrac{\partial Q}{\partial t} \qquad \text{[W=J/s]}$$

gęstość strumienia ciepła stosunek elementarnego strumienia ciepła $d\dot{Q}$ do elementarnego pola powierzchni $dA$ w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku przepływu ciepła
$$q(x,t) = \cfrac{d\dot{Q}(x,t)}{dA}, \qquad \text{[W/m$^2$]}$$

Podstawowe własności mechaniczne materiałów

gęstość -stosunek masy pewnej ilości substancji do zajmowanej przez nią objętości
$$\rho(x,t), \qquad \text{[kg/m$^3$]}$$

sztywność - wielkość określająca zdolność ciała do przeciwstawiania/poddawania się odkształceniu wywołanemu przez obciążenie, odwrotność to podatność.

współczynnik przewodzenie ciepła informuje o strumieniu energii, jaki przepływa przez jednostkową powierzchnię warstwy materiału o grubości $1m$, przy różnicy temperatury po obydwu stronach tej warstwy $1K (1^{\circ}C)$.

ciepło właściwe - ciepło potrzebne do zmiany temperatury ciała o jednostkowej masie o jedną jednostkę. Jest współczynnikiem pozwalającym określić skłonność ciała do łatwiejszej lub trudniejszej zmiany temperatury pod wpływem dostarczonej energii cieplnej.

rozszerzalność termiczna - zdolność ciała do zmiany kształtu pod wpływem zmiany temperatury. Współczynnik określający o ile zmieni się długość ciała po podniesieniu temperatury o jeden stopień określamy jako $\alpha$. Występuje też ujemna rozszerzalność termiczna tzn. po podgrzaniu ciało kurczy się. Zmianę długości pręta pod wpływem przyrostu temperatury możemy wyrazić jako
$$l = L (1 + \alpha \Delta T),$$

gdzie $L$ to długość pręta przed deformacją a $l$ to długość pręta po deformacji.

wytrzymałość - określa naprężenie potrzebne do zniszczenia materiału pod wpływem zadanego obciążenia. np. wytrzymałość na rozciąganie, ściskanie, zginanie.

jednorodność - jednakowe własności ciała we wszystkich punktach materialnych. Własności materiału nie zależą od położenia punktu materialnego.

izotropia/anizotropia - izotropia oznacza jednakowe własności mechaniczne materiału niezależne od kierunku badania. Przeciwieństwem izotropii jest anizotropia.

Prawa i związki fizyczne

Zachowaniem mechanicznym konstrukcji rządzą powszechnie znane prawa (równania równowagi, ciągłości, przewodnictwa cieplnego, itp.), które w ujęciu kontynualnym przybierają postać nieliniowego układu równań różniczkowych na pola skalarne, wektorowe i tensorowe.

zasada zachowania masy - masa ciała w czasie nie ulega zmianie (istnieją układy o zmiennej masie np. rakieta która w czasie lotu spala swoje paliwo) takimi układami nie będziemy się zajmować.
$$m = \text{const}$$

zasada zachowania pędu - zmiana pędu równa jest wypadkowej sile
$$\cfrac{dP}{dt} = F$$

zasada zachowania momentu pędu (krętu) - zmiana momentu pędu jest równa wypadkowemu momentowi działającemu na ciało. Jednostką momentu jest [N$\cdot$m]
$$\cfrac{dK}{dt} = M$$

zasada zachowania energii mechanicznej Energia kinetyczna + potencjalna = const. W energii kinetycznej uwzględniamy jeszcze energię wewnętrzną związaną z deformacją.

prawo Hooke'a - związek konstytutywny (zostanie on szerzej omówimy w dalszej części wykładu) zależność między naprężeniem a odkształceniem. Dla przypadku jednowymiarowego prawo to można zapisać jako
$$\sigma = E \varepsilon,$$

gdzie $\sigma$ - naprężenie, $E$ - moduł Younga oraz $\varepsilon$ - odkształcenie

prawo Fouriera - prawo, dotyczące przewodnictwa cieplnego, stwierdzające, że gęstość strumienia ciepła jest proporcjonalna do gradientu temperatury.

$$q(x) = -\lambda \cfrac{dT(x)}{dx}$$

gdzie $\lambda$ - współczynnik przewodzenia ciepła, $T(x)$ - temperatura, $q(x)$ - strumień ciepła.

Zagadnienie rozciągania pręta

Rozpatrzmy najprostszy przypadek ciała które może się deformować. Będzie to zagadnienie rozciągania pręta jednowymiarowego. Takie "hello world" z mechaniki ciał odkształcalnych. Zacznijmy od rzeczywistości.

Model fizyczny

Rozważmy pręt (ciało którego jeden wymiar jest zdecydowanie większy niż dwa pozostałe i jego oś jest prostą). Pręt ten ma pewien przekrój poprzeczny $A$ oraz długość $L$. Na pręt działa siła $P$ przyłożona na jego końcu oraz obciążenie wynikając z ciężaru własnego $q$. Grawitacja $g$ działa zgodnie z przyjętym układem współrzędnych. Rozważamy tylko oś pręta. To co dzieje się dla punktów materialnych leżących poza osią jest utożsamiane z rozwiązaniem dla osi. Zastosowaliśmy wiele uproszczeń, miejmy tego świadomość. Przeprowadźmy krótką analizę jednostki w jakiej wyrażone jest obciążenie ciągłe $q$.

$$q = g\cdot \rho \cdot A, \qquad \left[\cfrac{m}{s^2}\cfrac{kg}{m^3} \cdot m^2\right], \left[\cfrac{kg}{s^2}\right], \quad N = \cfrac{kg \cdot m}{s^2}, \qquad \left[\cfrac{N}{m}\right]$$

Model matematyczny

Załóżmy, że deformacje są małe ($X \approx x$) oraz że nasze zmienne nie zależą od czasu, tzn interesuje nas to co wydarzy się bardzo długim czasie kiedy wszystko się ustali. Nie musimy wtedy używać pochodnych cząstkowych. W przypadku jednowymiarowym zanika różnica w zapisie wektorów i skalarów pamiętajmy jednak o tym co w naszym równaniu jest wektorem a co skalarem.

Korzystając z warunku równowagi statycznej możemy zapisać (ciało pozostaje w spoczynku dlatego nie uwzględniamy sił bezwładności.)

$$-N(x) + N(x) + dN(x) + q(x)dx = 0.$$

Po przekształceniach dostajemy

$$\cfrac{dN(x)}{dx} + q = 0.$$

Siłę stanowi suma naprężeń na całym przekroju. Jeśli naprężenia są stałe w przekroju pręta, to możemy je określić z zależności

$$\sigma(x) = \cfrac{N(x)}{A}.$$

Z powyższej zależności wyliczamy siłę jako

$$N(x) = \sigma(x)A.$$

Równanie geometryczne (Cauchy’ego) wiążące ze sobą przemieszczenia i odkształcenia jest dane wzorem
$$\varepsilon(x) = \cfrac{du(x)}{dx}.$$

Wykorzystując równanie konstytutywne, Hooke'a określające zależność odkształcenia od naprężenia mamy

$$\sigma(x) = E\varepsilon(x),$$

gdzie $E$ - moduł Younga, moduł odkształcalności sprężystej, zależny od materiału.

W dalszej kolejności możemy zapisać że

$$N(x) = EA(x)\cfrac{du(x)}{dx}.$$

Ostatecznie dostajemy równanie

$$\cfrac{d}{dx}\left( EA\cfrac{du(x)}{dx} \right) + q = 0,\qquad 0 \leq x \leq L.$$

które po prostych przekształceniach można zapisać jako

$$EA\cfrac{d^2u(x)}{dx^2} + q = 0.$$

Rozwiązaniem powyższego równania różniczkowego jest nieskończenie wiele funkcji. Aby wybrać z pośród nich jedno rozwiązanie musimy sformułować warunki brzegowe dla rozważanego pręta. Równanie jest drugiego rzędu, zatem wymagane są dwa warunki brzegowe, ustalające wartość przemieszczenia $u$ lub siły $P$. Z naszego zadania wiemy, że

$$u(x=0) = 0, \qquad N(x=L) = EA\left. \cfrac{du}{dx}\right|_{x=L} = P$$

Postulujemy, że rozwiązanie jest w postaci

$$u(x) = ax^2+ bx + c, \qquad \cfrac{du}{dx} = 2ax+ b, \qquad \cfrac{d^2u}{dx^2} = 2a.$$

Wstawiając drugą pochodną do równania różniczkowego otrzymujemy

$$EA \cdot 2a + q = 0 \rightarrow a = -\cfrac{q}{2EA},$$

a więc nasze rozwiązanie jest postaci:

$$u(x) = -\cfrac{q}{2EA}x^2 + bx + c$$

Współczynniki b i c znajdujemy wykorzystując warunki brzegowe

$$a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = 0 \rightarrow c = 0,$$ $$EA (2a \cdot L + b) = P \quad \rightarrow \quad b = \cfrac{P}{EA} - 2aL = \cfrac{P}{EA} + \cfrac{qL}{EA}.$$

Nasze rozwiązanie ma następująca postać

$$u(x) = \cfrac{1}{EA} \left[-\cfrac{1}{2}qx^2 + \left(P + qL\right)x\right].$$

Różniczkują powyższe równanie dostajemy funkcję odkształcenia

$$\varepsilon = \cfrac{1}{EA} \left(-qx + P + qL \right)$$

oraz przemnażając wynik przez $EA$ dostajemy funkcje siły w pręcie

$$\qquad N(x)= -qx + P + qL.$$

Prostym sprawdzeniem poprawności uzyskanego rozwiązania jest obliczenie siły dla najbardziej wytężonego przekroju czyli dla $x=0$. Siła jest równa $P+qL$ (obciążenie końca pręta plus cały jego ciężar).

Inne warianty zadania:
1) zadane przemieszczenie na końcu pręta,
2) pręt ściskany,
3) dwie siły przyłożone do końców pręta,
4) różne materiały na długości pręta,
5) zmienne pole przekroju $A(x)$,
6) zmienna sztywność na długości pręta $E(x)$,
7) zmienne obciążenie na długości pręta $q(x)$.

Ustalony przepływ ciepła

Zagadnienie to stanowi pełną analogię do zagadnienia rozciągania pręta: temperatura $T$ $\Rightarrow u $, strumień ciepła $Q$ $\Rightarrow N$, gęstość strumienia ciepła $q$ $\Rightarrow \sigma$, wewnętrzne źródła ciepła $r \Rightarrow q$, $E \Rightarrow \lambda$. Korzystając z bilansu energii ułożonego dla fragmentu pręta, czyli to co wpływa minus to co wypływa plus to co generuje się w środku ciała dostajemy:

$$Q(x) - (Q(x) + dQ(x)) + r = 0,$$

gdzie $r$ oznacza wewnętrzne źródła ciepła.

Po przekształceniach dostajemy

$$-\cfrac{dQ(x)}{dx} + r = 0.$$

Wykorzystując definicję gęstości strumienia ciepła możemy zapisać

$$q(x) = \cfrac{Q(x)}{A}$$

Z powyższej zależności wyliczmy strumień ciepła

$$Q(x) = q(x)A.$$

Z prawa Fouriera mamy

$$q(x) = -\lambda \cfrac{dT(x)}{dx},$$

czyli

$$Q(x) = -\lambda A \cfrac{dT(x)}{dx}.$$

Podstawiając do bilansu energii dostajemy

$$\lambda A \cfrac{d^2T(x)}{dx^2} + r = 0.$$

Z powyższego równania możemy usunąć $A$ gdy odpowiednio określimy wewnętrzne źródła ciepła (podamy je na jednostkę długości).