• Oblicz odkształcenia podczas swobodnej jednorodnej deformacji termicznej dla
a) zagadnienia 3D
B) płaskiego stanu naprężenia
c) płaskiego stanu odkształcenia
Prosty cienki pręt równoległy do osi $x_1$ zamocowano tak, że nie może zmieniać swojej długości, ale jego przekrój może swobodnie deformować się w kierunkach $x_1$ i $x_2$. Temperatura wzrasta o $T$. Wyznaczyć wartości odkształceń $\varepsilon_{22}$ i $\varepsilon_{33}$ oraz naprężenia $\sigma_{11}$, jeżeli materiał jest sprężysty izotropowy ( o stałych $E$ i $\nu$) a współczynnik rozszerzalności cieplnej wynosi $a$. Wyznaczyć naprężenia Hubera Misesa $\bar{\sigma}$. Zakładamy małe, tj. liniowe odkształcenia.
Prosty cienki pręt równoległy do osi $x_1$ podgrzano o przyrost temperatury $T$. Współczynnik rozszerzalności cieplnej jest równy $a$, jego pole przekroju $A$, natomiast stałe sprężyste $E$ i $\nu (\nu > 0)$. Jaką siłą trzeba rozciagnąć podgrzany pręt, aby jego przekrój powrócił do pierwotnych rozmiarów? Wyznaczyć końcowe odkształcenie $\varepsilon_{11}$ pręta oraz naprężenia Hubera Misesa $\bar{\sigma}$. Zakładamy małe, tj. liniowe odkształcenia.
Ciśnienie hydrostatyczne w wodzie ma rozkład $p(\x)= -\rho gx_3$, gdzie $\rho g$ oznacza ciężar właściwy wody, a $x_3$ jest współrzędną pionową skierowaną do góry ($x_3=0$ na powierzchni wody). Wykorzystując twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego udowodnić twierdzenie Archimedesa, mówiące, że siła wypadkowa ciśnienia hydrostatycznego działającego na dowolne ciało zanurzone w wodzie jest skierowana do góry i równa ciężarowi wody wypartej przez to ciało.