# Ćwiczenie
Stan naprężenia w cylindrze o długości $L$ i promieniu $r$ jest równy
$$[\sigma_{ij}] = \left[ \begin{array}{ccc} Ax_2+Bx_3 & Cx_3 & -Cx_2\\ Cx_3 & 0 & 0\\ -Cx_2 & 0 & 0\\ \end{array} \right]$$Sprawdź czy przy braku sił objętościowych i pominięciu wpływu sił bezwładności równanie równowagi jest spełnione. Pokaż, że wektor naprężenia jest równy $\mathbf{0}$ dla wszystkich punktów leżących na powierzchni bocznej walca.
# Ćwiczenie
Stan naprężenie w punkcie $P$ jest określony przez następująca macierz
$$\mat{30}{0}{0}{0}{-30}{-60}{0}{-60}{15}, \qquad n_i = \cfrac{1}{3}\vr{2}{1}{2}$$
Wyznacza składową normalną wektora naprężenia $\t^{nn}$ oraz składową styczną $\t^{ns}$ dla płaszczyzny zdefiniowanej przez wektor $\n$.
# Ćwiczenie
Stan naprężenie w punkcie $P$ jest określony przez następująca macierz
$$= \mat{4}{b}{b}{b}{7}{2}{b}{2}{4}$$gdzie $b$ is niewiadomą. Jeżeli $\sigma_3 = 3$ i $\sigma_1 = 2 \sigma_2$ , wyznacz
• wszystkie wartości własne
• wartość $b$
kierunek główny odpowiadający wartości własnej $\sigma_2$
# Ćwiczenie
Stan naprężenie w punkcie $P$ jest określony przez następująca macierz
$$= \mat{\sigma_{11}}{2}{1}{2}{0}{2}{1}{2}{0}$$gdzie $\sigma_{11}$ jest nieznaną wartością. Wyznacz kierunek $\n$ dla którego wektor naprężenie będzie równy $\mathbf{0}$. Jaka powinna być wartość $\sigma_{11}$?
# Ćwiczenie
Wyznacz naprężenie Hubera-Miesea-Henckeygo dla jendoosiowego, dwuosiowego i trójosiowego stanu rozciągania/ściskania
$$[\ss]=\mat{\sigma}{0}{0}{0}{0}{0}{0}{0}{0}, \quad [\ss]=\mat{\sigma}{0}{0}{0}{\sigma}{0}{0}{0}{0}, \quad [\ss]=\mat{\sigma}{0}{0}{0}{\sigma}{0}{0}{0}{\sigma}$$gdzie $\sigma$ oznacza wartość przyłożonego naprężenia.
# Ćwiczenie
Wyprowadź równanie różniczkowe opisujące deformację jednowymiarowego pręta bazując na komplecie równań dla przypadku trójwymiarowego
$$\begin{cases} \sigma_{ij,j} + b_i = \rho \ddot{u}_i & (1)\\ \varepsilon_{ij} = \cfrac12(u_{i,j}+u_{j,i}) & (2)\\ \sigma_{ij} = C_{ijkl}\varepsilon_{kl} & (3)\\ \end{cases}$$