Pole temperatury dla ciała odkształcalnego zdefiniowane na konfiguracji aktualnej jest następujące
$$T(\x, t) = \cfrac12(x_1-1)^2t + \cfrac12(x_2-1)^2t + \cfrac12(x_3-1)^2t.$$Natomiast równania ruchu opisujące deformację tego ciała wyrażone są przez
$$x_1 = X_1 + bX_1t^2, \quad x_2 = X_2 + bX_2t^2, \quad x_3= X_3+bX_3t^2,$$gdzie $b$ to pewien stały parametr. Wyznacz:
• pochodną materialną pola temperatury $\dot{T}(\x,t)$
• przyśpieszenie cząstki która w chwili czasu $t=1$ ma współrzędne $x_1= 1$, $x_2= 1$, $x_3=0$
Dla jednowymiarowego zagadnienia pola przemieszczenia $u = u(X,t)$ jest równe
$$u = c\cdot t \cdot X$$
gdzie $c$ oznacza pewną stałą. Związek między współrzędnymi przestrzennymi a materialnymi jest równy
$$x = (1+ct)X$$
Wyznacz pierwszą i drugą pochodną pola przemieszczenia w opisie materialnym i przestrzennym
# Ćwiczenie
Pokaż że deformacja opisująca proste ścinanie jest izochoryczna
Ruch pewnego ciała odkształcalnego opisane jest przez pole prędkości $\v(\x,t)$ w konfiguracji aktualnej. Widząc że dla $\v$ istnieje pewien potencjał $\Phi(\x,t)$ czyli że $\v = \grad \Phi$ wyprowadź wzór na przyśpieszenie w zależności od pola potencjalnego.
$$\a = \grad \left( \pp{\Phi}{t} + \cfrac12(\grad \Phi)^2\right)$$Wyznacz pochodną materialną tensora odkształcenia Greena