# Ćwiczenie

Pokaż, ze pełne nasunięcie tensora drugiego rzędu który jest symetryczny na dowolny tensor drugiego rzędu jest równe
$$\A \cdot \B = \A \cdot sym(\B),$$
gdzie $\A$ - symetryczny tensor drugiego rzędu, $\B$ - dowolny tensor drugiego rzędu

---

# Ćwiczenie

Dany jest symetryczny tensor drugiego rzędu $\T$ oraz jego dewiator $\S$. Wyraz niezmienniki dewiatora przez niezmienniki tensora T.

$$J_1 = \phi_1(I_1, I_2, I_3), J_2 = \phi_2(I_1, I_2, I_3), J_3 = \phi_3(I_1, I_2, I_3),$$

gdzie $I_i$ - to kolejne niezmienniki tensora $T$ a $J_i$ to niezmienniki jego dewiatora $\S$.

---

# Ćwiczenie

Dokonaj rozkładu polarnego następującego tensora oraz narysuj jego interpretacje graficzną.

$$= \mat{\cfrac85}{\cfrac35}{0}{-\cfrac65}{\cfrac45}{0}{0}{0}{1}$$

---

# Ćwiczenie

Oblicz następujące wyrażenia

• $ \grad \x$

• $ \nabla \cdot \x$

• $ \grad(\x\A\x)$, gdzie $\A$ to dowolny tensor drugiego rzędu

---

# Ćwiczenie

Pokaż że

• $ \rot(\grad \varphi (\x) ) = 0$, gdzie $\varphi(\x)$ to dowolne pole tensorowe zerowego rzędu (skalarne)

• $\div (\rot \v(\x ) = 0$, gdzie $\v(\x)$ to dowolne pole tensorowe pierwszego rzędu

---

# Ćwiczenie

Pokaż, ze pełne nasunięcie symetrycznego tensora drugiego rzędu na antysymetryczny tensor rzędu drugiego jest równe $0$.
$$\S \cdot \V = 0$$

---

# Ćwiczenie

Dane jest następujące pole skalarne

$$\phi(\x) = \frac12 a^2 \left( \frac13 \frac{|\x|^2}{a^2}-1\right)$$

Wyznacz gradient rotację oraz dywergencję tego pola.

---

# Ćwiczenie

Dane jest pole tensorowe pierwszego rzędu

$$\v(\x) = [2x_1+x_1x_2,\, 3x_3^2+x_1,\, x_2^2-x_1^2].$$

Wyznacz:

• tensor $\A=\A(\x^0)$ w punkcie pola $\x^0=[1,1,-1]$, gdzie $\A(\x) = \mathrm{grad}\v$,
• część symetryczną i antysymetryczną tensora $\mathbf{A}$,
• dewiator oraz część kulistą $\mathbf{A}$,
• drugi niezmiennik symetrycznej części tensora $\A$.

---

# Ćwiczenie

Dane jest następująca funkcja tensorowa

$$W(E_{ij}) = \cfrac12C_{ijkl}E_{ij}E_{kl}$$

Oblicz $\pp{W}{E_{ij}}$, $\pp{W}{E_{ij}\partial E_{kl}}$

---

# Ćwiczenie

Dany jest tensor drugiego rzędu $\A$. Składowe tego tensora w dwóch bazach są równe odpowiednio $A'_{ij}$ oraz $A_{ij}$. Pokaż że

• jeżeli $A_{ij}$ jest macierzą symetryczną to $A'_{ij}$ jest również symetryczna.

---

# Ćwiczenie

Oblicz pochodną pierwszego oraz drugiego niezmiennika tensora drugiego rzędu $\A$ względem tego tensora.

$$\pp{I_1}{\A}, \quad \pp{I_2}{\A}$$

---

# Ćwiczenie

Jakie warunki musi spełniać pole wektorowe $\v(x)$ aby spełnione były następujące warunki

$$\div(\phi(\x) \v(\x)) = \phi(\x) \div \v(\x),$$ $$\grad(\phi(\x) \v(\x)) = \phi(\x) \grad \v(\x),$$

gdzie $\phi(\x)$ to dowolne pole skalarne różne od zera.

---

# Ćwiczenie

Pokaż, że:

$$\grad(\v \cdot \w) = (\w\otimes \nabla)^T \v + (\v \otimes \nabla)^T \w$$