# Ćwiczenie

Rozpisz i uprość wyrażenia (obowiązuje konwencja sumacyjna)

$$\epsilon_{ijk} \epsilon_{kjp} A_{ip}, \quad A_{ij} = -A_{ji}$$ $$B_{ijkl}\delta_{ij}\delta_{kl}\delta_{jl}$$ $$\epsilon_{ijk}C_{kil} \delta_{kl}$$ $$\delta_{ij} \delta_{jk} \delta_{ki}$$

Każdy z indeksów $i$, $j$ oraz $k$ przyjmuje wartości $1,2,3$. $\epsilon_{ijk}$ to symbol permutacyjny natomiast $\delta_{ij}$ oznacza deltę Kroneckera.

---

# Ćwiczenie

Podane wyrażenia w zapisie absolutnym zapisz używając notacji wskaźnikowej. Dla każdego wyrażenia podaj jego wynikowy rząd.

$$\C \A$$ $$\C \cdot \A^T$$ $$\A \cdot \C \cdot \A^T$$ $$\v\C\v$$

gdzie: $\v$ - tensory pierwszego rzędu, $\A$ - tensory drugiego rzędu, $\C$ - tensor czwartego rzędu, $^{T}$ - oznacza transpozycję

---

# Ćwiczenie

Wyznaczyć pole powierzchni $A$ równoległoboku rozpiętego na wektorach $\v$ i $\w$.

---

# Ćwiczenie

Wykazać, że

$$V = \u \cdot (\v \times \w)$$

to objętość równoległościanu rozpiętego na trzech wektorach.

---

# Ćwiczenie

Wyprowadź wzór na obliczanie wyznacznika macierzy $3\times 3$ przy użyciu symbolu permutacyjnego.

$$\det \A = \phi(A_{ij}, \epsilon_{ijk})$$

---

# Ćwiczenie

Oblicz iloczyn tensorowy dwóch wektorów

$$\v = \vr{1}{2}{3}, \quad \w = \vr{4}{5}{6}, \quad \v\otimes\w = ?$$

---

# Ćwiczenie

Wyprowadź wzór transformacyjny dla tensora rzędu drugiego.

$$A_{ij}' = Q_{ik} Q_{jl} A_{kl}$$

---

# Ćwiczenie

Uprość następujące wyrażenia

$$\delta_{kl}\delta_{kl}$$ $$B_{ij}\delta_{ik}\delta_{jl}$$ $$\epsilon_{ijk}\epsilon_{ijk}$$ $$\epsilon_{ijp}\epsilon_{ijq}$$