Sprzężenia termo-mechaniczne

• równanie konstytutywne: (i) stałe materiałowe, szczególnie w plastyczności i lepko-sprężystości, mogą zależeć od temperatury, (ii) zmiany temperatury powodują dodatkowe odkształcenia (rozszerzalność cieplna); przy dużych zmianach temperatury wpływa to na rozwiązanie zagadnienia mechaniki.
• równanie przewodnictwa: określone jest na aktualnej geometrii, która jest funkcją pola przemieszczeń -- przy dużych deformacjach wpływa to na rozwiązanie tego równania
• nieodwracalne procesy w materiale (plastyczność, lepkość), które powodują dysypację energii, generują tym samym ciepło, a więc w r-niu przewodnictwa

Rozszerzalność cieplna

Kiedy materiał podlega zmianie temperatury, rozszerza się lub kurczy. Wielkość rozszerzenia lub kurczenia jest zazwyczaj charakteryzowana przez tensor rozszerzalność cieplnej $\a$, który jest miarą zmiany długości w danym kierunku przy zmianie temperatury o $1^{\circ}C$. Dla ciała bez naprężeń deformacje powstałą w wyniku zmiany temperatury możemy opisać jako

$$\F^{(T)} = \I+\a \Delta T$$

gdzie $\Delta T$ to temperatura względna (różnica między temperaturą rzeczywistą a temperaturą odniesienia, przy której $\F^{(T)} = \I$).

Jeżeli materiał jest izotropowy pod względem termicznym to wtedy tensor rozszerzalności cieplnej możemy wyrazić jako tensor kulisty tj. $\quad \a=a\I$, gdzie $a$ to współczynnik rozszerzalności cieplnej. Gradient deformacji dla takiego materiału wyraża się następująco

$$\F^{(T)} = (1+a \Delta T)\I$$

Dla małych deformacji mamy

$$\varepsilon_{ij} = \varepsilon^{(T)}_{ij} + \varepsilon^{(\sigma)}_{ij}$$

Wprzypadku liniowej sprężystości i małych deformacji związek konstytutywny możemy zapisać jako

$$\ss= \C\ee^{(\sigma)}= \C\cdot(\ee-\a T) = \C\cdot\ee - \C\cdot\a T$$

Odwrotne prawo mażemy zapisać następująco

$$\ee = \D\cdot\ss + \a T, \qquad \D = \C^{-1}.$$

Jeżeli warunki brzegowe uniemożliwiają powstanie odkształceń, to podgrzanie materiału do $T$ spowoduje powstanie naprężeń
$$\sigma_{11}=\sigma_{22}=\sigma_{33} = -\frac{EaT}{1-2\nu} = -3K\,aT$$

gdzie $K = \cfrac{E}{3(1-2\nu)}$ to moduł ściśliwości. Pozostałe składowe tensora naprężenia są równe zero, ($\sigma_{12}=\sigma_{23}=\sigma_{13}=0$). Zwróćmy uwagę na znak "$-$" oraz że dla $\nu=\frac12$ (materiał nieściśliwy) naprężenia będą nieskończenie wielkie.