Siły

W mechanice ośrodków ciągłych wyróżniamy następujące rodzaje sił:
• siły zewnętrzne – oddziaływanie otoczenia na cząstki należące do ciała
1) objętościowe
2) powierzchniowe
• siły wewnętrzne – oddziaływanie cząstek ciała na siebie wzajemnie.

Wyróżniać będziemy następujące rodzaje sił zewnętrznych:
• Zewnętrzne siły objętościowe - reprezentują one oddziaływanie otoczenia na punkty wewnątrz ciała. Siłami takimi są np. grawitacja lub oddziaływania elektromagnetyczne

$$\b(\x, t) = \lim_{\Delta V\ \rightarrow 0}\cfrac{\Delta\f}{\Delta V} = \cfrac{d\f}{dV}, \quad d\f =\b(\x, t) dV$$

Jednostką gęstości sił objętościowych jest $[\q] = \mathrm{N}/\mathrm{m}^3$. W przypadku siły grawitacji możemy zapisać

$$\b(\x, t) = \rho \g$$

W tym przypadku siły objętościowe nie będą zależały od czasu i punktu.

• Zewnętrzne siły powierzchniowe - reprezentują one oddziaływanie otoczenia na punkty materialne znajdujące się na powierzchni zewnętrznej ciała. Siły tego rodzaju nie oddziałują bezpośrednio na punktu wewnątrz ciała

$$\q(\x, t) = \lim_{\Delta A\ \rightarrow 0}\cfrac{\Delta\f}{\Delta A} = \cfrac{d\f}{dA}, \quad d\f = \q(\x, t) dA .$$

Jednostką gęstości sił powierzchniowych jest $[\q] = \mathrm{N}/\mathrm{m}^2= \mathrm{Pa}$.Przykłady takich sił to ciśnienie hydrostatyczne wody na konstrukcję, siły tarcia podczas kontaktu dwóch ciał.

Rozkład sił powierzchniowych możemy opisać następującym równaniem

$$\q(\x) = \vr{\rho g (h-x_2)}{0}{0}$$

• Siły wewnętrzne. Zakładamy istnienie sił wewnętrznych – przekonuje nas o tym fakt, że cząstki wewnątrz ciała poruszają się (zachodzi odkształcenie ciała), z reguły każda w nieco inny sposób. Rozkład sił wewnętrznych opisany zatem będzie za pomocą wektorowej funkcji gęstości wewnętrznych sił powierzchniowych $\t(\x ,\n , t)$

$$\t(\x, \n, t) = \lim_{\Delta A\ \rightarrow 0}\cfrac{\Delta\f}{\Delta A} = \cfrac{d\f}{dA}$$

Funkcja gęstości wewnętrznych sił powierzchniowych jest polem wektorowym. Wektor ten nazywać będziemy wektorem naprężenia w danym punkcie przy cięciu powierzchnią o normalnej $\n$. Wektor naprężenia $\t$ jest przyporządkowany elementowi $dS$ o konkretnej normalnej $\n$.

Tensor naprężenia Cauchy

Na ścianach sześcianu działają wektory naprężenia o współrzędnych

$$\t_1 = \sigma_{11} \e_1 + \sigma_{12} \e_2 + \sigma_{13} \e_3$$ $$\t_2 = \sigma_{21} \e_1 + \sigma_{22} \e_2 + \sigma_{23} \e_3$$ $$\t_3 = \sigma_{31} \e_1 + \sigma_{32} \e_2 + \sigma_{33} \e_3$$

Powyższe równania możemy zapisać używając konwencji sumacyjnej jako

$$\t_i = \sigma_{ij}\e_j$$

gdzie $\sigma_{ik} = \t_i \e_k$, bez pogrubienia, normalna macierz współczynników.

Twierdzenie Cauchy Zależność między wektorem naprężenia $\t(\n)$ a normalną $\n$ do powierzchni, na jakiej ten wektor działa jest liniowa. Tensorem, który to odwzorowanie liniowe opisuje, jest tensor

$$\t(\n) = \ss^T\n, \qquad t_i = \sigma_{ji} n_j$$

gdzie $\ss$ nazywamy tensorem naprężenia.

Niezmienniki tensora naprężenia Cauchy'ego

Tensor naprężenia Cauchy'ego, posiada trzy główne niezmienniki, które opisują stan naprężenia niezależnie od układu współrzędnych.

• Pierwszy niezmiennik} $I_1$ - suma naprężeń normalnych (ślad tensora):

$$I_1 = \sigma_x + \sigma_y + \sigma_z$$

• Drugi niezmiennik $I_2$ związany z sumą kwadratów naprężeń normalnych oraz kwadratów naprężeń ścinających. Wyrażenie to można zapisać jako:

$$I_2 = \sigma_x \sigma_y + \sigma_y \sigma_z + \sigma_z \sigma_x - (\tau_{xy}^2 + \tau_{yz}^2 + \tau_{xz}^2)$$

• Trzeci niezmiennik $I_3$ - jest równy wyznacznikowi tensora naprężeń, co można zapisać jako:

$$I_3 = \sigma_x \sigma_y \sigma_z + 2 \tau_{xy} \tau_{yz} \tau_{xz} - \sigma_x \tau_{yz}^2 - \sigma_y \tau_{xz}^2 - \sigma_z \tau_{xy}^2$$

• Naprężenie zredukowane Hubera-Misesa-Henckego

Naprężenie zredukowane według kryterium HMH, $\bar{\sigma}$, można wyrazić za pomocą składowych tensora naprężeń jako:

$$\bar{\sigma} = \sqrt{\frac{1}{2} \left[ (\sigma_x - \sigma_y)^2 + (\sigma_y - \sigma_z)^2 + (\sigma_z - \sigma_x)^2 + 6(\tau_{xy}^2 + \tau_{yz}^2 + \tau_{xz}^2) \right]}$$

lub w wersji opartej na niezmiennikach tensora naprężeń:

$$\bar{\sigma} = \sqrt{\frac{3}{2} \left( I_1^2 - 3 I_2 \right)}$$

Podstawowe przypadki stanu naprężenia

Jednoosiowe rozciąganie/ściskanie

W przypadku jednoosiowego rozciągania, naprężenie działa tylko w jednym kierunku, np. wzdłuż osi $x_1$. Przykładem może być pręt rozciągany siłą wzdłuż swojej długości. Tensor Cauchy'ego w tym przypadku można zapisać jako

$$\ss = \mat{\sigma}{0}{0}{0}{0}{0}{0}{0}{0}$$

Dwuosiowe rozciąganie/ściskanie

Dwuosiowe rozciąganie oznacza, że naprężenia normalne działają jednocześnie w dwóch kierunkach, np. wzdłuż osi $x_1$ i $x_2$. Przykładem może być płyta rozciągana w dwóch kierunkach równocześnie. Tensor Cauchy'ego w tym przypadku ma postać:

$$\ss = \mat{\sigma}{0}{0}{0}{\sigma}{0}{0}{0}{0}$$

Czyste ścinanie

W przypadku czystego ścinania występują tylko naprężenia styczne, bez naprężeń normalnych. Przykładem może być sytuacja, gdy ciało jest poddane siłom równoległym, powodującym deformację bez zmiany objętości. Tensor Cauchy'ego dla czystego ścinania (w kierunkach $x$ i $y$ jest przedstawiony jako:

$$\ss = \mat{0}{\sigma}{0}{\sigma}{0}{0}{0}{0}{0}, \quad \ss = \mat{\sigma}{0}{0}{0}{-\sigma}{0}{0}{0}{0}$$