Teorie belek służą do analizy deformacji i naprężeń w belkach i prętach pod obciążeniem. W zależności od założeń, możemy zastosować różne modele, takie jak teoria belek Eulera-Bernouliego, Timoszenki, czy Własowa. Każda z tych teorii różni się założeniami, równaniami i zastosowaniami.
Założenia
• pomija efekt ścinania (zakłada, że przekrój poprzeczny jest zawsze prostopadły do osi zginanej belki).
• zakłada małe odkształcenia i liniowy rozkład przemieszczeń.
• odpowiednia do długich, smukłych belek, gdzie długość jest dużo większa od wymiaru poprzecznego.
Równanie różniczkowe
Równanie zginania belek w teorii Eulera-Bernouliego wyraża się jako:
$$\frac{d^2}{dx^2} \left( EI \frac{d^2w(x)}{dx^2} \right) = q(x)$$gdzie:
• $w(x)$ — przemieszczenie w kierunku prostopadłym do osi belki,
• $E$ - moduł Younga materiału,
• $I$ — moment bezwładności przekroju,
• $q(x)$ — siła rozłożona wzdłuż belki (obciążenie ciągłe).
Przykłady zastosowania:
• długie, smukłe belki w mostach, konstrukcjach stalowych, budynkach.
• przypadki, gdzie efekty ścinania są pomijalne (np. belki o dużym stosunku długości do wysokości).
Założenia:
• Uwzględnia deformacje ścinające i efekt rotacji przekroju poprzecznego.
• Odpowiednia dla belek krótszych lub grubszych, gdzie wpływ sił ścinających nie jest pomijalny.
• Zakłada stosunkowo niewielkie odkształcenia, ale dopuszcza odchylenie przekroju od idealnej prostopadłości do osi belki.
Równania różniczkowe
Dwa sprzężone równania różniczkowe, jedno dla przemieszczeń i drugie dla rotacji, są w tej teorii następujące:
$$\dd{^2}{x^2}\left[ EI \dd{\phi(x)}{x}\right] = q(x)$$ $$\dd{w(x)}{x} = \phi(x) - \cfrac{1}{\kappa G A} \dd{}{x}\left[ EI \dd{\phi(x)}{x}\right]$$gdzie:
• $w(x)$ — ugięcie osi belki,
• $\phi(x)$ — kąt obrotu przekroju poprzecznego,
• $G$ — moduł Kirchhoffa materiału (moduł sprężystości poprzecznej),
• $I$ — moment bezwładności przekroju,
• $A$ — pole przekroju poprzecznego.
Przykłady zastosowania:
• belki o stosunkowo dużych wymiarach poprzecznych (krótkie i grube belki).
• elementy w konstrukcjach, gdzie istotny jest wpływ sił ścinających, np. żebra w lotnictwie, osie pojazdów.
Założenia:
• Uwzględnia efekty zginania, skręcania i odkształcenia warstw w przekroju poprzecznym.
• Odpowiednia dla belek przestrzennych o bardziej skomplikowanych przekrojach, które mogą się skręcać.
• Zakłada możliwość deformacji przekroju poprzecznego.
Równania różniczkowe:
Równania Własowa są bardziej skomplikowane, ponieważ uwzględniają odkształcenia skręcania i zdeformowanie przekroju. W klasycznej teorii uwzględniającej efekty skręcania wyprowadza się równania typu:
$$M_{R}(x) = -\bar{E}I_{\omega}\alpha'''(x) + G I_x \alpha'(x)$$gdzie:
• $\alpha$ - kąt skręcenia,
• $I_x$ - biegunowy moment bezwładności przekroju poprzecznego,
• $I_{\omega}$ - współczynnik wyboczeniowy zależny od przekroju,
• $M_r(x)$ - moment skręcający.
Przykłady zastosowania:
• Długie belki lub pręty, gdzie efekty skręcania są istotne, np. elementy mostów kratownicowych, wały w silnikach.
• Belki o nietypowych, cienkościennych przekrojach poprzecznych, np. elementy konstrukcji lotniczych, masztów.
| Cecha | Teoria Eulera-Bernouliego | Teoria Timoszenki | Teoria Własowa |
|---|---|---|---|
| Uwzględnianie efektów ścinania | Nie | Tak | Tak |
| Uwzględnianie skręcania | Nie | Nie | Tak |
Każda z teorii znajduje swoje zastosowanie w zależności od geometrii belki i typu obciążenia. Teoria Eulera-Bernouliego jest najprostsza, ale stosuje się ją głównie do smukłych belek, gdzie efekt ścinania można pominąć. Teoria Timoszenki jest bardziej złożona, ale uwzględnia wpływ ścinania, przez co jest odpowiednia dla krótszych, grubszych belek. Teoria Własowa jest najbardziej zaawansowana i uwzględnia nie tylko ścinanie, ale i skręcanie, dzięki czemu jest stosowana w bardziej skomplikowanych konstrukcjach inżynierskich, takich jak belki przestrzenne o nietypowych przekrojach.