Główne hipotezy Własowa

• powierzchnia środkowa deformuje się tak jakby w płaszczyźnie każdego przekroju poprzecznego rozpostarta była na linii środkowej sztywna tarcza, idealnie wiotka dla deformacji w kierunku prostopadłym do tego przekroju.

• odkształcenia kątowe w punktach powierzchni środkowej są małe

• naprężenie normalne do powierzchni środkowej są pomijalnie małe w stosunku do dwóch pozostałych naprężeń normalnych

Równoważność układów sił

W teorii pręta cienkościennego nie zawsze będziemy mogli posługiwać się twierdzeniami o statycznej równoważności układów sił.

Statyczna równoważność układu sił:
• ($\alpha$) usunięcie lub dołączenie do układu dwóch wektorów przeciwnych leżących na jednej prostej
• ($\beta$) usunięcie lub dołączenie dwóch lub więcej wektorów o wspólnym początku i sumie równej $\boldsymbol{0}$

Dwa układy (X) i (Y) nazywamy statycznie równoważnymi wtedy i tylko wtedy gdy wykonując na układzie (X) skończoną liczbę przekształceń elementarnych $\alpha$ i $\beta$ w wyniku końcowym otrzymamy układ (Y)

Aby dwa układy sił przyłożonych do ciała sztywnego były statycznie równoważne, potrzeba i wystarcza, aby miały równe sumy oraz momenty względem jednego punktu.

Układ zerowy

Przez układ zerowy rozumiemy taki układ w którym wszystkie wektory sił są równe zero

Układ jednoelementowy

Jest to układ złożony z jednej siły

Para sił

Parą sił nazywamy układ dwóch niezerowych wektorów sił przeciwstawnych i nie leżących na tej samej prostej.

Bipara sił i bimoment

Biparą sił lub krótko biparą nazywać będziemy parę par leżących w płaszczyznach równoległych. Biparze możemy przyporządkować liczbę którą nazywamy bimomentem. Wartość tej liczy wyznaczamy z iloczynu mieszanego

$$B_{\omega} = [\P, \r, \boldsymbol{\rho}]$$

gdzie $\P$ to dowolnie wybrany wektor bipary, $\r$ wektor wodzący punktu zaczepienia wybranej siły względem siły drugiej z tej samej pary, $\boldsymbol{\rho}$ to wektor wodzący punktu zaczepienia wybranego wektora siły względem drugiej pary.

Jeśli oznaczyć odległość między siłami pary przez $d$, a odległość płaszczyzn przez $h$ to bezwzględna wartość bimomentu można zapisać

$$|B_{\omega}| = |\P| \cdot d \cdot h$$

Uwaga w przypadku pręta cienkościennego bipara wywołuje deformacje sięgające daleko wzdłuż długości pręta.

Do określania bimomentu bardziej praktyczny jest jednak inny wzór, który wyręcza nas z przeprowadzania żmudnej niekiedy redukcji:

$$B_{\omega} = P \omega(s_P)$$

Ze wzoru tego obliczymy bimoment, która pojawi się po zredukowaniu do bieguna $R$ siły $P$ przyłożonej w punkcie o współrzędnej wycinkowej $\omega(s_P)$. Istnienie bipary i bimomentu powoduje pojawienie się nowej definicji równoważności układów sił. W przypadku prętów cienkościennych mamy do czynienia z tzw. kinematyczną równoważnością układów sił zewnętrznych i wewnętrznych.

Deplanacja przekroju

Spaczenie przekroju ciała, zwane też jego deplanacją, polega na tym, że punkty leżące w początkowo płaskim przekroju doznają przemieszczeń do niego prostopadłych, w wyniku działających na ciało obciążeń. W efekcie deplanacji płaszczyzna przekroju przekształca się w pewną powierzchnię określoną przez odpowiednią funkcję spaczenia.

Model matematyczny

Poniższe równania pozwalają określić przemieszczenia osi belki wzdłuż osi $x$ oraz ugięcia i kąty ugięcia osi zginania w płaszczyznach $xy$ i $xz$

$$u'(x) = \cfrac{F(x)}{\bar{E}A}$$ $$v''(x) = \cfrac{M_z(x)}{\bar{E}I_z}$$ $$w''(x) = \cfrac{M_y(x)}{\bar{E}I_y}$$

gdzie $\bar{E} = E/(1-\nu^2)$

Kąt skręcenia

$$M_{R}(x) = -\bar{E}I_{\omega}\alpha'''(x) + G I_x \alpha'(x)$$

Zalezienie funkcji kąta skręcenia pozwala nie tylko określić kąt skręcenia ale także
• spaczenie przekroju poprzecznego które jest opisane wzorem

$$\alpha'(x)\omega(s)$$

• funkcje bimomentu $B_{\omega}(x)$
• funkcje momentu giętno-skrętnego $M_{\omega}(x)$

Pole naprężenia i funkcje sił przekrojowych

Naprężenie normalne w pręcie cienkościennym obliczamy ze wzoru

$$\sigma_x(x,s) = \cfrac{F_x(x)}{A} + \cfrac{M_y}{I_y}z(s) - \cfrac{M_z(x)}{I_z}y(s) + \cfrac{B_{\omega}(x)}{I_{\omega}}\omega(s)$$

Naprężenia styczne z kolei wyznaczamy w oparciu o

$$\tau_{\omega}(x,s) = \cfrac{F_z(x)S_y(s)}{I_y \,\delta(s)} + \cfrac{F_y(x)S_z(s)}{I_z \,\delta(s)} - \cfrac{M_{\omega}(x)S_{\omega}(s)}{I_{\omega} \,\delta(s)}$$