Teoria Konstrukcji

Wprowadzenie

Model belki Bernoulliego-Eulera jest klasycznym modelem opisującym zachowanie belek poddanych zginaniu. Jest szeroko stosowany w inżynierii do analizy ugięć, naprężeń oraz stabilności belek. Model ten opiera się na kilku podstawowych założeniach.

Hipoteza płaskich przekrojów

Przekroje poprzeczne belki przed i po deformacji pozostają płaskie i prostopadłe do osi belki. Oznacza to, że przekrój nie ulega odkształceniom ani obrotom względem siebie, co upraszcza analizę naprężeń i ugięć.

Deformacja wycinka belki zginanej przy założeniu hipotezy płaskich przekrojów.

Model fizyczny

Model fizyczny opisujący belkę zakłada że belka jest prostoliniowa. Przekrój poprzeczny belki jest symetryczny względem osi neutralnej. Obciążenia działają w płaszczyźnie pionowej, co oznacza, że belka jest poddawana głównie zginaniu. Obciążenia mogą być rozłożone równomiernie lub skupione w określonych punktach. Belka może być podparta na różne sposoby, np. swobodnie podparta, utwierdzona na jednym końcu lub utwierdzona na obu końcach.

Rozkład sił wewnętrznych oraz obciążeń w belce.

Model matematyczny

Równanie belki Bernoulliego-Eulera

$$\dd{^2}{x^2}\left[\ E I \dd{^2w(x)}{x^2}\right] = q(x),$$

gdzie $q(x)$ to funkcja obciążenia ciągłego występująca na belce, $E$ to moduł Younga, $I$ to moment bezwładności przekroju poprzecznego belki.

Przedstawione równanie to niejednorodne, liniowe równanie różniczkowe zwyczajne czwartego rzędu. Model ten moża z powodzeniem stosować do belek o zmiennym przekroju czyli gdy sztywność giętna $E I$ jest funkcją $x$. Równanie Bernoulliego-Eulera wymaga czterech warunków brzegowych na ugięcie, kąt obrotu, moment zginający oraz siłę poprzeczną.

Kąt obrotu wyznaczamy poprzez różniczkowania funkcji ugięcia

$$\phi(x) = \dd{w(x)}{x}$$

Moment zginający możemy wyrazić jako

$$M(x) = -E I \dd{^2w(x)}{x^2}$$

a siłę poprzeczną jako

$$Q(x) = -EI \dd{^3w(x)}{x^3}$$

Warunki brzegowe

Warunki brzegowe konstruujemy poprzez odpowiednie zapisanie znanych wartości ugięcia, kąta obrotu, momentu zginającego oraz siły poprzecznej dla różnych sposobów podparcia i obciążenia belki na jej końcach.

Rozważmy w pierwszej kolejności belkę wspornikową jak na rysunku. Warunki brzegowe dla tej belki będą następujące

Belka wspornikowa o długości $L$ obciążona siłą skupioną $P$.

$$w(x=0) = 0, \quad \phi(x=0)=0, \quad Q(x=L)=P, \quad M(x=L)=0$$

Dla belki swobodnie podpartej obciążonej w sposób ciągły warunki brzegowe będą następujące

Belka wolnopodparta o długości $L$ obciążona w sposób ciągły obciążeniem $q(x)$.

$$w(x=0) = 0, \quad w(x=L)=0, \quad M(x=0)=0, \quad M(x=L)=0$$

Rozkład siły poprzecznej oraz momentu zginającego możemy wyznaczyć rozwiązując następujące równanie różniczkowe

$$\dd{Q(x)}{x} = -q(x), \quad \dd{M(x)}{x} = Q(x)$$

Są to wzory Schwedlera-Żurawskiego.

Zastosowanie

• Belki smukłe (gdzie stosunek długości do wysokości przekroju poprzecznego jest duży).
• Przy obciążeniach statycznych lub quasi-statycznych.

# Przykład

Znajdź rozwiązanie analityczne belki wspornikowej o długości $L$ obciążonej siłą skupioną o wartości $P$. Belka ma przekrój prostokątny o bokach: $b$ - szerokość i $h$ - wysokość.

$$EI\dd{^4w(x)}{x^4} = 0, \quad x \in (0, L)$$

Warunki brzegowe:

$$w(x=0)=0, \quad \phi(x=0)=0, \quad M(x=L) = 0, \quad Q(x=L) = P$$

Rozwiązanie

$$w(x) = \cfrac{-6L\,P\,x^2}{E\,b\,h^3} + \cfrac{2P\,x^3}{Ebh^3}$$

from sympy import Function, dsolve, Derivative
from sympy import Symbol
x = Symbol("x")
L = Symbol("L")
b = Symbol("b")
h = Symbol("h")
E = Symbol("E")
P = Symbol("P")
I = b*h**3/12
w = Function('w')
fun = E*I*Derivative(Derivative(Derivative(Derivative(w(x), x),x),x))
r = dsolve(fun, ics={
    w(0): 0,                          # ugięcie rowne zero
    w(x).diff(x).subs(x, 0): 0,       # kąt ugiecia
    w(x).diff(x,2).subs(x, L): 0,     # moment zginajacy
    w(x).diff(x,3).subs(x, L): P/E/I  # siła poprzeczna
    })
print(r)

Ugięcie belki wspornikowej dla różnych wartości wysokości belki $h$.