Komputerowe Wspomaganie Projektowania

Płaski stan naprężenia i odkształcenia

Tarczą nazywamy bryłę o jednym wymiarze (grubość) dużo mniejszym od pozostałych. W tarczy panuje płaski stan naprężenia (PSN).

a) Płaski stan naprężenia (PSN) - wymiar w kierunku $z$ jest dużo mniejszy od pozostałych wymiarów, b) Płaski stan odkształcenia (PS0), wymiar w kierunku $z$ jest dużo większy od pozostałych wymiarów.

Dyskretyzacja

Dwuwymiarowy obszar dzielimy na skończoną liczbę elementów w postaci figur płaskich. Najczęściej stosowanymi elementami wykorzystywanymi do zagadnień dwuwymiarowych są elementy trójkątne i czworokątne.

Podział obszaru $\Omega$ na 6 trójkątnych elementów skończonych. Liczba węzłów wynosi 7. Geometria ciała może zostać nieprawidłowo odwzorowana jeżeli liczba elementów skończonych jest mała, w szczególności w obszarach gdzie występuje duża krzywizna brzegu ciała.

Wektor przemieszczenia ma tylko dwie składowe

$$\u = [u_x, u_y]^T$$

Wektor odkształcenia i naprężenia jest następujący

$$\boldsymbol{\varepsilon} = [\varepsilon_{xx}, \varepsilon_{yy}, \gamma_{xy}] \quad \boldsymbol{\sigma} = [\sigma_{xx}, \sigma_{yy}, \sigma_{xy}]$$

Dla PSN zakładamy że składowa $zz$ tensora naprężenia jest równa zero. Podobnie w przypadku PS0 tensor odkształcenia ma zerową składową na kierunku $zz$. Związek między wektorem naprężenia i odkształcenia możemy wyrazić przez macierz zawierającą stałe sprężyste, która dla liniowego prawo Hooke'a jest następująca

$$\D^{psn} = \cfrac{E}{1-\nu^2}\mat{1}{\nu}{0}{\nu}{1}{0}{0}{0}{\cfrac{1-\nu}{2}}, \quad \D^{pso} = \cfrac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)}\mat{1-\nu}{\nu}{0}{\nu}{1-\nu}{0}{0}{0}{\cfrac{1-2\nu}{2}}$$

Macierz sztywności elementu skończonego możemy zapisać jako całkę po powierzchni wykorzystując założenie, że na elemencie skończonym jego grubość nie ulega zmianie.

$$\boldsymbol{k} = h \int_{A} (\B)^T \D \B dxdy$$

gdzie $A, h$ - oznacza powierzchnię i grubość elementu skończonego.

Trójwęzłowy element o stałym odkształceniu

Do aproksymacji pola przemieszczenia wystarczająca jest liniowa interpolacja Lagrange’a

$$\u = \N\d, \quad u = \sum_{i=1}^3 N_i(x,y) u_i, \quad v = \sum_{i=1}^3 N_i(x,y) v_i$$
Element składa sie z trzech węzłów. Pole przemieszczenie interpolowane jest za pomocą liniowych funkcji kształtu. Każdy węzeł ma dwa stopnie swobody (przemieszczenie w kierunku poziomym i pionowym.

Wektor przemieszczeń węzłowych ma postać

$$\boldsymbol{d} = [u_1, v_1, u_2, v_2, u_3, v_3]^T$$

Funkcje kształtu zawarte są w macierzy $\N$

$$\N^e = \begin{bmatrix} N_1 & 0 & N_2 & 0 & N_3 & 0\\ 0 & N_1 & 0 & N_2 & 0 & N_3\\ \end{bmatrix}$$

Zakładamy że funkcję opisujące pole przemieszczenia są liniowo zależne od $x$ i $y$ czyli

$$u = c_1 + c_2 x + c_3 y, \quad v = c_4+ c_5x + c_6 y$$

Liniowe funkcje kształtu mają następującą postać

$$\begin{eqnarray} N_1 = \cfrac{1}{2A}\left[x_2y_3-x_3y_2 + (y_2-y_3)x + (x_3-x_2)y \right] \\ N_2 = \cfrac{1}{2A}\left[x_3y_1-x_1y_3 + (y_3-y_1)x + (x_1-x_3)y \right] \\ N_3 = \cfrac{1}{2A}\left[x_1y_2-x_2y_1 + (y_1-y_2)x + (x_2-x_1)y \right] \\ \end{eqnarray}$$

gdzie $A$ - to pole powierzchni elementu skończonego a $x_i$ oraz $y_i$ to współrzędne węzłów dla $i=1,2,3$.

Funkcje kształtu dla liniowego elementu trójkątnego.

Odkształcenie w elemencie skończonym obliczamy wykorzystując macierz $\mathbf{L}$. Dla przypadku dwuwymiarowego ma ona postać

$$\mathbf{L} = \begin{bmatrix} \pp{}{x} & 0 \\ 0 & \pp{}{y} \\ \pp{}{y} & \pp{}{x} \\ \end{bmatrix}, \quad \mathbf{B^e} = \mathbf{L} \mathbf{N}^e = \cfrac{1}{2A^e} \begin{bmatrix} y_2-y_3 & 0 & y_3-y_1 & 0 & y_1-y_2 & 0\\ 0 & x_3-x_2 & 0 & x_1-x_3 & 0 & x_2-x_1\\ x_3-x_2 & y_2-y_3 & x_1-x_3 & y_3-y_1 & x_2-x_1 & y_1-y_2\\ \end{bmatrix}$$

Odkształcenie jest więc równe

$$\ee = \B \boldsymbol{d}$$

Widać, że odkształcenie na elemencie jest stałe. Macierz $\B$ nie zależy od $x$ i $y$. ang. Constant strain triangle element (CST element).

Sześciowęzłowy element trójkątny o liniowej aproksymacji pola odkształcenia

Kolejnym elementem służącym do analizy płaskiego stanu naprężenia oraz odkształcenia jest sześciowęzłowy element trójkątny zwany w literaturze skrótowo LST (Linear Strain Triangle). Każdy z węzłów ma, podobnie jak w elemencie CST, po dwa stopnie swobody. Wektor przemieszczeń węzłowych definiujemy w następujący sposób

$$\boldsymbol{d} = [u_1, u_2, u_3, u_4, u_5, u_6, v_1, v_2, v_3, v_4, v_5, v_6].$$
Element składa się z sześciu węzłów. Pole przemieszczenia interpolowane jest przy użyciu wielomianów drugiego stopnia.

Funkcja opisujące poszczególne składowe pole przemieszczenia jest następująca

$$u = c_1 + c_2x+c_3y + c_4x^2+c_5xy+c_6 y^2$$ $$v = c_7 + c_8x+c_9y + c_{10}x^2+c_{11}xy+c_{12} y^2$$