Liniowy problem teorii sprężystości

W niniejszym rozdziale będziemy stosować zapis macierzowy. Wielkości tensorowe takie jak przemieszczenie, odkształcenie oraz naprężenie zostaną zapisane jako jako wektory kolumnowe.

Wektor przemieszczenia

$$\u = \vr{u_1}{u_2}{u_3} \rightarrow \u = \vr{u_x}{u_y}{u_z}^T$$

Stan odkształcenia reprezentuje macierz składowych.
Tensor odkształcenia jest tensorem symetrycznym a wiec stosując notację macierzową możemy go zapisać jako wektor o sześciu składowych.

$$\ee = \mat {\varepsilon_{11}}{\varepsilon_{12}}{\varepsilon_{13}}{\varepsilon_{21}}{\varepsilon_{22}}{\varepsilon_{23}}{\varepsilon_{31}}{\varepsilon_{32}}{\varepsilon_{33}} \rightarrow \ee = \begin{bmatrix} \varepsilon_{xx} & \varepsilon_{yy} & \varepsilon_{zz} & \gamma_{xy} & \gamma_{xz} & \gamma_{yz} \end{bmatrix}^T$$

W powyższym wzorze posługujemy się tzw. inżynierskimi definicjami odkształceń stycznych (kąty odkształcenia postaciowego), związanymi z odpowiednimi składowymi tensora odkształceń za pomocą związków:

$$\gamma_{xy} = 2\varepsilon_{xy}, \quad \gamma_{xz} = 2\varepsilon_{xz}, \quad \gamma_{yz} = 2\varepsilon_{yz},$$

Podobnie możemy zapisać tensor naprężenia jako

$$\ss = \mat {\sigma_{11}}{\sigma_{12}}{\sigma_{13}}{\sigma_{21}}{\sigma_{22}}{\sigma_{23}}{\sigma_{31}}{\sigma_{32}}{\varepsilon_{33}} \rightarrow \ss = \begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{yy} & \sigma_{zz} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} & \sigma_{yz} \end{bmatrix}^T$$

Problem liniowej teorii sprężystości opisany jest następującym układem równań różniczkowych cząstkowych:
• równania równowagi Naviera, gdzie $b_i$ to wektor sił masowych.

$$\pp{\sigma_{ij}}{x_j} + b_i = 0$$

• równania geometryczne, związki między przemieszczeniami i odkształceniami

$$\varepsilon_{ij} = \cfrac12 \left(\pp{u_i}{x_j} + \pp{u_j}{x_i} \right)$$

• równania fizyczne które wiążą ze sobą odkształcenie i naprężenie. np. izotropowe prawo Hooke'a

$$\sigma_{ij} = \cfrac{E}{1+\nu}\varepsilon_{ij} + \cfrac{\nu E}{(1+\nu)(1-2\nu)}\varepsilon_{kk}\delta_{ij}$$

Do powyższych równań dochodzą dwa typy warunków brzegowych (naprężeniowe i przemieszczeniowe)

$$\sigma_{ij} n_j = t_i^{*}, \text{na brzegu} \quad S_{\sigma}, \quad u_i = u_i^{*}\quad \text{na brzegu } \quad S_u$$

Problem liniowej teorii sprężystości możemy również przestawić stosując zapis macierzowy wprowadzając macierz pochodnych $\L$ oraz macierz sztywności $\D$

$$\L = \begin{bmatrix} \pp{}{x} & 0 & 0 \\ 0 & \pp{}{y}& 0 \\ 0 & 0 & \pp{}{z} \\ \pp{}{y} & \pp{}{x} & 0\\ \pp{}{z} & 0 & \pp{}{x} \\ 0 & \pp{}{z} & \pp{}{y} \\ \end{bmatrix}, \quad \D = \cfrac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 & 0& 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 & 0& 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 & 0& 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cfrac{(1-2\nu)}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cfrac{(1-2\nu)}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cfrac{(1-2\nu)}{2} \\ \end{bmatrix}$$

Nasze równania prezentują się wtedy następująco

$$\L^T\boldsymbol{\sigma} + \b = 0,\quad \boldsymbol{\varepsilon} = \L\u, \quad \boldsymbol{\sigma} = \D \boldsymbol{\varepsilon}$$

Podstawy MES wyprowadzone z twierdzenia o minimum całkowitej energii potencjalnej

$$\Pi = U-W = \cfrac12 \int_{\Omega}\boldsymbol{\sigma}^T\boldsymbol{\varepsilon} dV - \int_{\Omega} \u^T \b dV - \int_{\partial \Omega} \u^T \t dS$$

Przyjmijmy że nasze rozwiązanie na elemencie skończonym jest wyrażone jako

$$\u = \N \boldsymbol{d}$$

Macierz $\N$ zawiera funkcje kształtu a wektor $\boldsymbol{d}$ oznacza nieznane przemieszczenia uogólnione.
Równanie geometryczne po wykorzystaniu aproksymacji pola przemieszczenia jest równe

$$\ee = \L \u = \L\N\boldsymbol{d} = \B \boldsymbol{d}, \quad \B = \L\N.$$

Podstawiając dostajemy

$$\Pi= \cfrac12 \int_{\Omega}\boldsymbol{d}^T \B^T \D \B \boldsymbol{d} dV - \int_{\Omega} \boldsymbol{d}^T \N^T \b dV - \int_{\partial \Omega} \boldsymbol{d}^T \N^T \t dS$$

ze stacjonarni tego wyrażenia wynika równowaga elementu:

$$\pp{}{\boldsymbol{d}} \Pi = 0 \rightarrow \left( \int_{\Omega} \boldsymbol{d}^T \B^T \D \B dV\right) \boldsymbol{d} - \f = \boldsymbol{k} \boldsymbol{d}- \f$$

gdzie macierz sztywności jest następująca

$$\boldsymbol{k} = \int_{\Omega} \B^T \D \B dV$$

a wektor obciążenia jest równy

$$\f = \int_{\Omega}\N^T \b dV + \int_{\partial \Omega} \N^T \t dS.$$