W metodach tego typu nachylenie szacowane jest na podstawie kilku punktów wewnątrz przedziału. Różne metody RK klasyfikowane są ze względu na ich rząd (odpowiadający liczbie punktów wziętych do szacowania nachylenia). Rozpatrzmy metodę RK2
$$y_{i+1} = y_i + (ak_1+b k_2), \quad k_1 = f(x_i,y_i)h, k_2 = f(x_i+\alpha h, y_i + \beta k_1)$$• $\alpha, \beta$ współrzędne punktów wewnątrz przedziału $\left<0, 1\right>$
• $a, b$ - wagi poszczególnych nachyleń.
Możemy wyróżnić kilka rodzajów tej metody z uwagi na rząd.
• pierwszego rzędu
• drugiego rzędu
$$k_1 = f(x_i,y_i)h$$ $$k_2 = f(x_i+h,y_i+k_1)h$$ $$y_{i+1} = y_i+\cfrac{1}{2}(k_1+k_2)$$• trzeciego rzędu
$$k_1 = f(x_i,y_i)h$$ $$k_2 = f(x_i+h/2,y_i+k_1/2)h$$ $$k_3 = f(x_i+h,y_i-k_1+2k_2)h$$ $$y_{i+1} = y_i+\cfrac{1}{6}(k_1+4k_2+k_3)$$• czwartego rzędu
$$k_1 = f(x_i,y_i)h$$ $$k_2 = f(x_i+h/2,y_i+k_1/2)h$$ $$k_3 = f(x_i+h/2,y_i+k_2/2)h$$ $$k_4 = f(x_i+h,y_i+k_3)h$$ $$y_{i+1} = y_i+\cfrac{1}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)$$Warto zauważyć że dla następujących parametrów dla metody RK2
$$a = b = \cfrac{1}{2}, \qquad \alpha=\beta = 1$$dostajemy zmodyfikowaną metodę Eulera.
UWAGA - istnieje inny zapis tych metod gdzie $h$ jest dodawane na końcu ostatniego równania wtedy trzeba odpowiednio zmienić zapis. Dla przykładu dla metody RK2 który już się pokazał zapis jest następujący
$$k_1 = f(x_i,y_i)h$$ $$k_2 = f(x_i+h,y_i+k_1)h$$ $$y_{i+1} = y_i+\cfrac{1}{2}(k_1+k_2)$$Możemy go jednak zmienić stosując zapis równoważny
$$k_1 = f(x_i,y_i)$$ $$k_2 = f(x_i+h, y_i+k_1 h)$$ $$y_{i+1} = y_i+\cfrac{1}{2}(k_1+k_2)h$$Załóżmy, że nasz następny krok metody zależy od pochodnej obliczanej w dwóch punktach. Pierwszy z nich jest na początku (tak jak w metodzie Eulera, drugi zaś określony jest przez parametry $\alpha$ i $\beta$.
$$\cfrac{dy}{dx}=f(x,y), \qquad k_1 = hf(x_n,y_n), \qquad k_2 = hf(x_n+\alpha h, y_n+\beta k_1), \qquad y_{n+1} = y_n + ak_1+ bk_2$$gdzie $a$, $b$, $\alpha$, $\beta$ są pewnymi stałymi, które należy wyznaczyć. Rozwińmy w szereg Taylor poszukiwaną funkcję $y$ w otoczeniu punktu $x_n$
$$y(x_{n}+h)=y(x_{n+1}) = y_{n+1}= y_n + h\cfrac{dy}{dx}|_{x_n} + \cfrac{1}{2}h^2\cfrac{d^2y}{dx^2}|_{x_n} +O(h^3)$$gdzie $y_n = y(x_n)$. Wiemy, że $dy/dx = f(x,y)$ dlatego drugą pochodną możemy zapisać jako
$$\cfrac{d^2y}{dx^2} = \cfrac{df(x,y)}{dx} = \cfrac{df}{dx} + \cfrac{df}{dy} \cfrac{dy}{dx} = \cfrac{df}{dx} + f\cfrac{df}{dy}$$Wykorzystaliśmy tutaj pochodną funkcji złożonej (reguła łańcuchowa) oraz fakt, że $f=dy/dx$. Podstawmy do wcześniej wyprowadzone wzoru i dostajemy
$$y_{n+1}= y_n + hf(x_n,y_n) + \cfrac{1}{2}h^2 \left[\cfrac{df}{dx} + f\cfrac{df}{dy}\right]\qquad (1)$$Rozwińmy w szereg Taylora współczynnik $k_2$, traktując $f$ jako funkcję dwóch zmiennych $x$, $y$. Funkcje rozwijamy w otoczeniu punktu $x_n, y_n$ a nasza wielkość otoczenia wyznaczona jest przez $\alpha h, \beta k_1$. $h$ stoi przez funkcją więc je przepisujemy.
$$k_2 = hf(x_n+\alpha h, y_n+\beta k_1) = h\left[ f + \alpha h \cfrac{df}{dx} + \beta k_1\cfrac{df}{dy}\right] + O(h^3)$$Podstawiając wszystko do wzoru na metodę $y_{n+1} = y_n + ak_1+ bk_2$ oraz uwzględniając wzór na $k_1$ dwukrotnie w równaniu dostajemy
$$y_{n+1} = y_n + ahf + bh\left[ f + \alpha h \cfrac{df}{dx} + \beta h f\cfrac{df}{dy}\right] + O(h^3)$$upraszczając dostajemy (wyciągamy $h$ przed nawias i pozbywamy się $f$ z nawiasu)
$$y_{n+1} = y_n + (a+b)hf + bh^2\left[ \alpha\cfrac{df}{dx}+ \beta f\cfrac{df}{dy}\right] \qquad (2)$$Otrzymaliśmy dwa równania na $y_{i+1}$ (1) i (2). Porównując odpowiednie współczynniki przy tych samych wyrazach dostajemy układ trzech równań.
$$a+b = 1, \qquad b\alpha = \cfrac{1}{2}, \qquad b\beta = \cfrac{1}{2}$$Mamy nieskończenie dużo rozwiązań, które spełniają powyższy układ równań. Dla przykładu
$$a = \cfrac{1}{2},\quad b = \cfrac{1}{2}, \quad \alpha = 1, \quad \beta=1$$