Metody ważonych reziduów

Metoda punktu kolokacji

W tej wersji metody ważonych reziduów za funkcję wagi przyjmuje się wyrażenie
$$w_i(x) = \delta(x-x_i), \text{dla} \, i=1,2,...,n$$
Nieznane współczynniki $a_i$ wyznaczane są z rówań:
$$\int_{\Omega} w_i R(x,a_i) = 0, \quad \text{dla} \, i=1,2,...,n$$

---

# Zadanie

Rozwiąż równanie różniczkowe metodą punktu kolokacji
$$\cfrac{d^2T}{dx^2} + 1000 x^2 = 0, \quad 0 \leq x\leq 1$$
dla następujących warunków brzegowych
$$T(0) = 0; T(1) = 0$$

Przyjąć funkcje próbne w postaci: $N_1 = x(1-x^2), \, N_2 = x(1-x)$. Punkty kolokacji są następujące: $x_1 = 1/3, \quad x_2 = 2/3$.

---

Metoda podobszaru kolokacji

Funkcje wagi w tej metodzie dobiera się w taki sposób, że ich wartości są równe $1$ w danej części obszaru
$$w_i(x)=\begin{cases}1,& x\in\Omega_i\\0,& x\not\in \Omega_i\end{cases}, \,\text{dla} \,\, i=1,2,...,n$$
Nieznane współczynniki $a_i$ wyznaczane są z rówań:
$$\int_{\Omega}w_i R(x,a_i) = 0, \quad \text{dla} \,\, i=1,2,...,n$$

---

# Zadanie

Rozwiąż równanie różniczkowe metodą podobaszaru kolokacji
$$\cfrac{d^2T}{dx^2} + 1000 x^2 = 0, \quad 0 \leq x\leq 1$$
dla następujących warunków brzegowych
$$T(0) = 0; T(1) = 0$$
Przyjąć funkcje próbne w postaci: $N_1 = x(1-x^2), \, N_2 = x(1-x)$. Podoobszary są następujące:
$$\Omega_1 = 0 \leq x\leq \cfrac12, \quad\Omega_2 = \cfrac12 < x \leq 1$.$$

---

Metoda najmniejszych kwadratów

Role funkcji wagowych w powyższych równaniach pełnią pochodne reziduów

$$w_i(x) = \cfrac{\partial R}{\partial a_i}, \quad \text{dla} \quad i=1,2,...,n$$

Nieznane współczynniki $a_i$ wyznaczane są z równań:

$$\int_{\Omega}w_i R(x,a_i) = 0, \quad \text{dla} \, i=1,2,...,n,$$

---

# Zadanie

Rozwiąż równanie różniczkowe metodą najmniejszych kwadratów

$$\cfrac{d^2T}{dx^2} + 1000 x^2 = 0, \quad 0 \leq x\leq 1$$

dla następujących warunków brzegowych

$$T(0) = 0; T(1) = 0$$

Przyjąć funkcje próbne w postaci: $N_1 = x(1-x^2), \, N_2 = x(1-x)$.

---

Metoda Galerkina

Rolę funkcji wagowej pełni przyjmowana funkcja próbna
$$w_i(x) = N_i(x), \quad \text{dla} \quad i=1,2,...,n$$
Nieznane współczynniki $a_i$ wyznaczane są z rówań:
$$\int_{\Omega}w_i R(x,a_i) = 0, \quad \text{dla} \, i=1,2,...,n,$$

---

# Zadanie

Rozwiąż równanie różniczkowe metodą Galerkina
$$\cfrac{d^2T}{dx^2} + 1000 x^2 = 0, \quad 0 \leq x\leq 1$$
dla następujących warunków brzegowych
$$T(0) = 0; T(1) = 0.$$
Przyjąć funkcje próbne w postaci: $N_1 = x(1-x^2), \, N_2 = x(1-x)$.

---

Znajdź funkcję ugięcia $w(x)$ dla belki wolnopodpartej obciążonej jak na rysunku stosując metodę ważonych reziduów (punktu kolokacji, podobszaru kolokacji i Galerkina).
Dobierz odpowiednie parametry funkcji próbnych które dane są postaci

$$N_i(x) = A \sin(B x) + C \cos (D x) + Ex + Fx^2 + G$$

Dla przykładu dwie funkcje próbne

$$N_1(x) = \sin\left(\cfrac{\pi}{L}x\right), \quad N_2(x) = \cos\left(\cfrac{2\pi}{L}x \right) -1, \quad N_3(x) = (x-L)x$$

Rozwiązanie analityczne zagadnienia
$$w(x) = -\cfrac{q}{EI}\left( \cfrac{L^3}{24}x - \cfrac{L}{12}x^3 + \cfrac{1}{24}x^4\right)$$

Maksymalne ugięcie
$$w_{max} = \cfrac{5}{384} \cfrac{qL^4}{EI}$$

---