Metoda Eulera

$$y_{i+1} = y_i + f(x_i,y_i)h$$

Zmodyfikowana metod Eulera

$$y_{i+1} = y_i + \frac{1}{2}[f(x_i,y_i) + f(x_{i+1},y_{i+1}^E)]h, y_{i+1}^E = y_i + f(x_i,y_i)h$$

Metoda punktu środkowego

$$y_{i+1} = y_i + hf\left(x_i+\frac{1}{2}h,y_{i+\frac{1}{2}h}^E\right) , y_{i+\frac{1}{2}h}^E = y_i + \frac{1}{2}f(x_i,y_i)h$$

gdzie $y(x_0) = y_0$ - warunek początkowy,$y(x)$ - poszukiwana funkcja, $h$ - krok metody, $f$ - pochodna poszukiwanej funkcji $y(x)$

Zadania:
• Rozwiąż przy pomocy metody Eulera następujący problem początkowy
$$\cfrac{dy}{dx} = sin(x) + y, \quad y(1)=0, x \in (1,5)$$

• Rozwiąż przy pomocy metody punktu środkowego następujący problem początkowy
$$\cfrac{dy}{dx} = \cos(x) + y^2, \quad y(1.5)=0, x \in (1.5,3)$$

Metody Rungego-Kutty

• pierwszego rzędu
$$y_{i+1} = y_i+f(x_i,y_i)h$$

• drugiego rzędu

$$\begin{align*} k_1 = & f(x_i,y_i)h \\ k_2 = & f(x_i+h,y_i+k_1)h \\ y_{i+1} = & y_i+\cfrac{1}{2}(k_1+k_2) \end{align*}$$

• trzeciego rzędu

$$\begin{align*} k_1 = & f(x_i,y_i)h \\ k_2 = & f(x_i+h/2,y_i+k_1/2)h \\ k_3 = & f(x_i+h,y_i-k_1+2k_2)h \\ y_{i+1} = & y_i+\cfrac{1}{6}(k_1+4k_2+k_3) \end{align*}$$

• czwartego rzędu

\begin{align*}
k_1 = & f(x_i,y_i)h \\
k_2 = & f(x_i+h/2,y_i+k_1/2)h \\
k_3 = & f(x_i+h/2,y_i+k_2/2)h \\
k_4 = & f(x_i+h,y_i+k_3)h \\
y_{i+1} = & y_i+\cfrac{1}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)
\end{align*}