Wprowadzenie

Tekst ten powstał na bazie artukułu:

Philip G. Hodge, On isotrpic cartesian tensor, 1961

Praca dotyczy dowodu matematycznego który wykazuje że izotropowymi tensorami drugiego, trzeciego i czwartego rzędu są odpowiednio

$$A_{ij} = \lambda \delta_{ij}$$ $$A_{ijk} = \mu \epsilon_{ijk}$$ $$A_{ijkl} = \alpha \delta_{ij}\delta_{kl} + \beta\delta_{ik}\delta_{jl} + \gamma \delta_{il}\delta_{jk}$$

gdzie $\delta_{ij}$ oznacza deltę Kronceckera a $\epsilon_{ijk}$ to symbol permutacyjny.

Zdefiniujmy infinitezymalną macierz obrotu jako

$$a_{ij} = \delta_{ij} + \epsilon_{ijk}\omega_k$$

gdzie $a_{ij} = \cos (x_i, x_j'$ a $\omega_k$ jest wektorem o infinitezymalnej długości.

Izotropowy tensor drugiego rzędu

Najbardziej ogólna postać izotropowego tensora musi zapewnić

$$T_{ij}' = T_{ij} = a_{mi}a_{nj}T_{mn}$$

czyli że składowe tego tensora w dwóch różnych układach współrzędnych są takie same. Wykorzystując wzór na infinitezymalną macierz obrotu mamy

$$\omega_r(\epsilon_{mir}T_{mj} + \epsilon_{mjr}T_{im}) = 0$$

Wektor $\omega_r$ jest może być przyjęty w sposób dowolny a więc

$$(\epsilon_{mir}T_{mj} + \epsilon_{mjr}T_{im}) = 0$$

Mnożąc powyższe równanie przez $\epsilon_{tir}$ i upraszczając wykorzystując zależność $\epsilon_{ijk}\epsilon_{rsk} = \delta_{ir}\delta_{js} - \delta_{is}\delta_{jr}$ dostajemy

$$2T_{tj} + T_{jt} = T_{mm} \delta_{jt} = 3\lambda\delta_{jt}$$

Skoro prawa strona jest symetryczna to i lewa być musi czyli $T_{tj}=T_{jt}$ dostajemy wtedy ostateczną postać

$$T_{jt} = \lambda\delta_{jt}$$

Izotropowy tensor trzeciego rzędu

Wykorzystując macierz prawo transformacji dla tensora trzeciego rzędu oraz infinitezymalną macierz obrotu dostajmy następujące równanie

$$\epsilon_{mir}T_{mjk} + \epsilon_{mjr}T_{imk} +\epsilon_{mkr}T_{ijm}=0$$

Mnożąc powyższe równanie przez $\epsilon_{tsr}$ i postawiają pod wskaźnik $s$ wartości $i$, $j$ i $k$ otrzymujemy trzy równania

$$2T_{ijk} + T_{jik} + T_{kji} = T_{mmk}\delta_{ij} + T_{mjm}\delta_{ik} = 0$$ $$2T_{ijk} + T_{jik} + T_{ikj} = T_{mmk}\delta_{ij} + T_{imm}\delta_{jk} = 0$$ $$2T_{ijk} + T_{kji} + T_{ikj} = T_{mjm}\delta_{ik} + T_{imm}\delta_{jk} = 0$$

Zauważmy że nie ma izotropowych wektorów więc np. $T_{mmk}$ musi być równe 0. Rozwiązanie powyższego układu równań wymaga aby

$$T_{ijk} = T_{kji} = T_{ikj} = - T_{ijk}$$

co opisuje własności symbolu permutacyjnego a więc termistorowymi tensorami trzeciego rzędu będą tenory postaci

$$T_{ijk} = \mu \epsilon_{ijk}$$

Izotropowy tensor czwartego rzędu

W przypadku tensora czwartego rzędu musi on spełniać następujące równanie

$$\epsilon_{mis}T_{sjkl} + \epsilon_{mjs}T_{iskl} + \epsilon_{mks}T_{ijsl} + \epsilon_{mls}T_{ijks} = 0$$

Przemnażając powyższe równanie przez $\epsilon_{mit}, \epsilon_{mjt}, \epsilon_{mkt}, \epsilon_{mlt}$ i podstawiając pod wskaźnik $t$ wartości $i, j, k, l$ dostajemy układ równań

$$2T_{ijkl} + T_{jikl} + T_{kjil} + T_{ljki} = T_{sskl}\delta_{ij} + T_{sjsl}\delta_{ik} + T_{sjks}\delta_{il}$$ $$2T_{ijkl} + T_{jikl} + T_{kjil} + T_{ljki} = T_{sskl}\delta_{ij} + T_{isks}\delta_{jl} + T_{issl}\delta_{jk}$$ $$2T_{ijkl} + T_{jikl} + T_{kjil} + T_{ljki} = T_{ijss}\delta_{kl} + T_{sjsl}\delta_{ik} + T_{issl}\delta_{jk}$$ $$2T_{ijkl} + T_{jikl} + T_{kjil} + T_{ljki} = T_{ijss}\delta_{kl} + T_{isks}\delta_{jl} + T_{sjks}\delta_{il}$$

Aby tensor $T_{ijkl}$ był izotropowy składniki takie jak np. $T_{sskl}$ które reprezentują tensor drugiego rzędu powinny być też izotropowe a więc

$$T_{sskl} = \lambda \delta_{kl}, \quad T_{sjsl} = \mu \delta_{jl}, \quad T_{sjks} = \nu \delta_{jk}$$

Wykorzystując tą zależność dostajemy

$$2T_{ijkl} + T_{jikl} + T_{kjil} + T_{ljki} = \lambda\delta_{kl}\delta_{ij} + \mu\delta_{jl}\delta_{ik} + \nu\delta_{jk}\delta_{il}$$ $$2T_{ijkl} + T_{jikl} + T_{kjil} + T_{ljki} = \lambda\delta_{kl}\delta_{ij} + \mu\delta_{ik}\delta_{jl} + \nu\delta_{il}\delta_{jk}$$ $$2T_{ijkl} + T_{jikl} + T_{kjil} + T_{ljki} = \lambda\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\delta_{jl}\delta_{ik} + \nu\delta_{il}\delta_{jk}$$ $$2T_{ijkl} + T_{jikl} + T_{kjil} + T_{ljki} = \lambda\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\delta_{ik}\delta_{jl} + \nu\delta_{jk}\delta_{il}$$

Związek w formie

$$T_{ijkl} = T_{jilk} = T_{klij} = T_{lkji}$$

może zostać otrzymany ...

To prowadzi do ostatecznej postaci związku

$$T_{ijkl} = \alpha \delta_{ij}\delta_{kl} + \beta \delta_{ik}\delta_{jl} + \gamma \delta_{il} \delta_{jk}$$

gdzie

$$\alpha = (4\lambda - \mu - \nu)/10$$ $$\beta = (4\mu - \nu - \lambda)/10$$ $$\gamma = (4\nu - \lambda - \mu)/10$$