Równanie równowagi zapisane w konfiguracji odniesienia wygląda następująco

$$-N(x) + N(x) + dN(x) + q(x)dx = 0$$

Po przekształceniach mamy to same równanie różniczkowe

$$\cfrac{dN(x)}{dx} + q(x) = 0$$

Siłe w pręcie możemy wyrazić jako iloczyn naprężenia i aktualnego pola przekroju

$$N(x) = \sigma(x)A(x)$$

Wyznaczmy zależność pola przekroju od odkształcenia. Zakładamy, ze rozważany materiał jest nieściśliwy. Objętość infinitezymalnego elementu objętości po deformacji musi pozostać taka sama

Po deformacji wzór na objętość będzie wyrażał się następująco

$$L_0 \cdot A_0 = L \cdot A = L_0 \cdot A_0 \left(1+\cfrac{du}{dx}\right)\left(1+\cfrac{dv}{dy}\right)\left(1+\cfrac{dw}{dz}\right) = L_0 \cdot A_0 \left(1+\cfrac{du}{dx}\right)\left(1+\cfrac{dv}{dy}\right)^2$$

Materiał jest izotropowy więc konsekwencją tego jest

$$\cfrac{dv}{dy} = \cfrac{dw}{dz}$$

Ostatecznie dostajemy że

$$A = A_0 \cfrac{L_0}{L} = A_0 \cfrac{1}{1+\cfrac{du}{dx}}$$

czyli z koła po deformacji dostaniemy koło (nie będzie zmiany kształtu) jedynie przekrój poprzeczny pręta może ulec "przeskalowaniu".

Wykorzystując prawo konstytutywne i podstawiając wzór na pole przekroju równanie jest następujące

$$N(x) = EA_0 \cfrac{\cfrac{du}{dx}}{1+\cfrac{du}{dx}}$$

Przepiszmy równanie na siłę z użyciem symbolu odkształcenia

$$N(x) = EA_0 \cfrac{\varepsilon(x)}{1+\varepsilon(x)}$$

Różniczkują dostajemy

$$EA_0 \cfrac{\ee{'}(x) \left[1+\ee(x)\right] - \ee \ee{'}(x)}{\left[1+\ee(x)\right]^2}-q=0$$ $$E A_0 (\ee{'} (1+\ee) - \ee \ee{'}) - {(1+\ee)^2}q=0$$ $$E A_0 \ee{'}-(1+\ee)^2q = 0$$

Przepisują równanie dostajemy

$$E A_0 \cfrac{d^2u(x)}{dx^2} - q(x)\left[1+\cfrac{du}{dx} \right]^2 = 0, \qquad x \in (0, L_0)$$

do równania musimy dopisać dwa warunki brzegowe

$$u(x=0) = 0, \qquad N(x=L_0)=F$$